Question

【題目】已知點F2 ， P分別為雙曲線 的右焦點與右支上的一點，O為坐標原點，若2 |，且 ，則該雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：方法一：設P（x，y），F1（﹣c，0），F2（c，0），
由題意可知：2 = + ，則M為線段PF2的中點，則M（ ， ），
則 =（c，0）， =（ ， ），
則 = ×c= 解得：x=2c，
由丨 丨=丨 丨=c，即 =c，解得：y= c，
則P（2c， c），由雙曲線的定義可知：丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，
即 ﹣ =2a，a=（ ﹣1）c，
由雙曲線的離心率e= = ，
∴該雙曲線的離心率 ，
故選D．
方法二：由題意可知：2 = + ，則M為線段PF2的中點，
則OM為△F2F1P的中位線，
=﹣ =﹣丨 丨丨 丨cos∠OF2M= ，
由丨 丨=丨 丨=c，則cos∠OF2M=﹣ ，
由正弦定理可知：丨OM丨2=丨 丨2+丨 丨2﹣2丨 丨丨 丨cos∠OF2M=3c2 ，
則丨OM丨= c，則丨PF1丨=2 ，丨PF2丨=丨MF2丨=2c，
由雙曲線的定義丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，a=（ ﹣1）c，
由雙曲線的離心率e= = ，
∴該雙曲線的離心率 ，
故選D．
方法一：由題意可知：則M為線段PF2的中點，則M（ ， ），根據向量數量積的坐標運算，即可求得x=2c，利用兩點之間的距離公式，即可求得y= c，利用雙曲線的定義，即可求得a=（ ﹣1）c，利用雙曲線的離心率公式即可求得該雙曲線的離心率．
方法二：由題意可知：2 = + ，則M為線段PF2的中點，根據向量的數量積，求得cos∠OF2M，利用余弦定理即可求得丨OM丨，根據三角形的中位線定理及雙曲線的定義丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，a=（ ﹣1）c，即可求得雙曲線的離心率．