Question

如圖，已知點P為反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）圖象上一點，⊙P交x軸于點O，B，連接OP并延長交⊙P于點A．連接AB交反比例函數(shù)于點Q，當AP=AQ時，以PQ為對稱軸將△APQ翻折得到△CPQ，則△CPQ與△AOB重疊部分PEFQ的面積是

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,三角形中位線定理,菱形的判定與性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理,軸對稱的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：易證四邊形APCQ是菱形，則有PC∥AQ，PA∥CQ．根據(jù)圓周角定理可得∠ABO=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PEO=90°，設(shè)點P的橫坐標為a，可得OE=a，PE=

6

a

，根據(jù)垂徑定理可得OE=BE=a，根據(jù)三角形中位線定理可得AB=2PE=

12

a

，再根據(jù)點Q在反比例函數(shù)圖象上可得BQ=

3

a

，從而可求出AQ（即PC）長，由此可求出EC長，再根據(jù)△CEF∽△PEO可求出EF的長，然后只需分別求出△CEF和△CPQ的面積，就可解決問題．

解答：解：∵△APQ與△CPQ關(guān)于PQ對稱，
∴PC=PA，QC=QA．
又∵AP=AQ，
∴PC=PA=QC=QA，
∴四邊形APCQ是菱形，
∴PC∥AQ，PA∥CQ．
∵OA是⊙P的直徑，
∴∠ABO=90°．
∵PC∥AQ，
∴∠PEO=∠ABO=90°．
設(shè)點P的橫坐標為a，
∵點P為反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）圖象上一點，
∴y_P=

6

a

（a＞0），
∴OE=a，PE=

6

a

．
根據(jù)垂徑定理可得OE=BE=a．
又∵OP=AP，
∴AB=2PE=

12

a

．
∵點Q在反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）圖象上，x_Q=2a，
∴y_Q=

6

2a

=

3

a

，
∴QB=

3

a

，
∴PC=AQ=AB-QB=

12

a

-

3

a

=

9

a

，
∴EC=PC-PE=

9

a

-

6

a

=

3

a

，
∴EC=

1

2

PE．
∵OP∥CQ，
∴△CEF∽△PEO，
∴

EF

EO

=

EC

EP

，
∴

EF

a

=

1

2

，
∴EF=

a

2

，
∴S_△CEF=

1

2

CE•EF=

1

2

×

3

a

×

a

2

=

3

4

；
∵S_△CPQ=

1

2

CP•BE=

1

2

×

9

a

×a=

9

2

，
∴S_{四邊形PEFQ}=S_△CPQ-S_△CEF=

9

2

-

3

4

=

15

4

．
故答案為：

15

4

．

點評：本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、軸對稱的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，有一定的綜合性，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)點P的橫坐標為a，將線段BE、PC、EC、EF分別用a的代數(shù)式表示．然后用割補法求出四邊形PEFQ的面積．