Question

如圖，直線：分別與軸、軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C線段AB上，作CD⊥x軸于D, CD=2OD, 點(diǎn)E線段OB上,且AE=BE；

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（      ，     ）；點(diǎn)E的坐標(biāo)為（      ，     ）；

（2）直線過點(diǎn)E，且將△AOB分成面積比為1：2的兩部分，求直線的表達(dá)式；

（3）點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，

①當(dāng)PC+PE取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PC+PE的最小值；

②當(dāng)PC-PE取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PC-PE的最大值；

Answer 1

（1）點(diǎn)C（  2  ，  4  ）；點(diǎn)E（ 0 ，  3 ）；

（2）直線m的表達(dá)式為：或

（3）①_；②

【解析】

分析：（1）根據(jù)求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，A（4,0）,B（0,8），所以O(shè)A=4，OB=8，設(shè)OD=m，則CD=2OD=2m，因?yàn)?CD⊥x軸，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是（m，2m）代入可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)OE=x,則AE=BE=8-x，在△OAE中，根據(jù)勾股定理可求出x的值，從而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線m的表達(dá)式為，然后分情況討論

（3）①求出點(diǎn)E關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)E′坐標(biāo)，然后求直線C E′與x軸的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P;②直線CE與與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．

解：（1）點(diǎn)C（  2  ，  4  ）；點(diǎn)E（ 0 ，  3 ）；

（2）設(shè)直線m的表達(dá)式為

①如圖：

當(dāng)時(shí)，

得FH=,將代入得

將點(diǎn)F（，）代入得，

所以直線m的表達(dá)式為

②如圖：

當(dāng)時(shí)，,

得ON=,將點(diǎn)N（，）代入得，

所以直線m的表達(dá)式為

綜上，直線m的表達(dá)式為：或

（3）①如圖：

E關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)E′坐標(biāo)為（0，-3），

設(shè)直線CE′的表達(dá)式為代入C（2,4）得;,所以

將代入得

所以P的坐標(biāo)為

作E′Q⊥CD于Q,則E′Q=OD=2，CQ=7

所以PC+PE的最小值= CE′==

②如圖：

設(shè)直線CE的表達(dá)式為，與x軸相交為p,

代入C（2，4），得，

所以，當(dāng)時(shí)，；點(diǎn)P坐標(biāo)為（-6，0），

作CR⊥y軸于R,則CR=OD=2，ER=1，

所以PC-PE的最大值= CE==

【難度】較難