Question

如圖，直線：分別與軸、軸交于A、B兩點，點C線段AB上，作CD⊥x軸于D, CD=2OD, 點E線段OB上,且AE=BE；

（1）填空：點C的坐標為（      ，     ）；點E的坐標為（      ，     ）；

（2）直線過點E，且將△AOB分成面積比為1：2的兩部分，求直線的表達式；

（3）點P在x軸上運動，

①當PC+PE取最小值時，求點P的坐標及PC+PE的最小值；

②當PC-PE取最大值時，求點P的坐標及PC-PE的最大值；

Answer 1

（1）點C（  2  ，  4  ）；點E（ 0 ，  3 ）；

（2）直線m的表達式為：或

（3）①_；②

【解析】

分析：（1）根據(jù)求出點A,B的坐標，A（4,0）,B（0,8），所以O(shè)A=4，OB=8，設(shè)OD=m，則CD=2OD=2m，因為 CD⊥x軸，所以點C的坐標是（m，2m）代入可求出點C的坐標，設(shè)OE=x,則AE=BE=8-x，在△OAE中，根據(jù)勾股定理可求出x的值，從而可得點E的坐標；

（2）設(shè)直線m的表達式為，然后分情況討論

（3）①求出點E關(guān)于X軸的對稱點E′坐標，然后求直線C E′與x軸的交點，即為點P;②直線CE與與x軸的交點即為點P．

解：（1）點C（  2  ，  4  ）；點E（ 0 ，  3 ）；

（2）設(shè)直線m的表達式為

①如圖：

當時，

得FH=,將代入得

將點F（，）代入得，

所以直線m的表達式為

②如圖：

當時，,

得ON=,將點N（，）代入得，

所以直線m的表達式為

綜上，直線m的表達式為：或

（3）①如圖：

E關(guān)于X軸的對稱點E′坐標為（0，-3），

設(shè)直線CE′的表達式為代入C（2,4）得;,所以

將代入得

所以P的坐標為

作E′Q⊥CD于Q,則E′Q=OD=2，CQ=7

所以PC+PE的最小值= CE′==

②如圖：

設(shè)直線CE的表達式為，與x軸相交為p,

代入C（2，4），得，

所以，當時，；點P坐標為（-6，0），

作CR⊥y軸于R,則CR=OD=2，ER=1，

所以PC-PE的最大值= CE==

【難度】較難