Question

如圖，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連接BE．

（1）求證：△ACD≌△BCE；

（2）延長BE至Q，P為BQ上一點，連接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8時，求PQ的長．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．

【專題】幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）由△ABC與△DCE是等邊三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可證得∠ACD=∠BCE，所以根據(jù)SAS即可證得△ACD≌△BCE；

（2）首先過點C作CH⊥BQ于H，由等邊三角形的性質，即可求得∠DAC=30°，則根據(jù)等腰三角形與直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的長．

【解答】（1）證明：∵△ABC與△DCE是等邊三角形，

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：過點C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等邊三角形，AO是角平分線，

∴∠DAC=30°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠PBC=∠DAC=30°，

∴在Rt△BHC中，CH=BC=×8=4，

∵PC=CQ=5，CH=4，

∴PH=QH=3，

∴PQ=6．

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形、等邊三角形以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，但難度不大，解題時要注意數(shù)形結合思想的應用．