Question

【題目】如圖1，在正方形中，，為對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接和．

（1）求證：；

（2）如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且有．

①判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②如圖3，取中點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明步驟見(jiàn)解析;(2) ①EF⊥AM，理由見(jiàn)解析;②

【解析】

(1)證明△ABM≌△CBM(SAS)即可解題,

(2) ①由全等的性質(zhì)和等邊對(duì)等角的性質(zhì)等量代換得到∠ECF=∠AEF,即可解題,

②過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H,先證明四邊形EBCH是矩形,再由平行四邊形的性質(zhì)得到E,G是AB的三等分點(diǎn),最后利用斜邊中線等于斜邊一半即可解題.

解 (1)在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABM=∠CBM=45°,BM=BM

∴△ABM≌△CBM(SAS)

∴AM=CM

(2) ①EF⊥AM

由(1)可知∠BAM=∠BCM,

∵CE=EF,

∴∠ECF=∠EFC,

又∵∠EFC=∠AEF,

∴∠ECF=∠AEF,

∴∠AEF+∠BAM=∠BCM+∠ECF=90°,

∴∠ANE=90°,

∴EF⊥AM

②過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H,

∵EC=EF,

∴H是FC中點(diǎn)(三線合一),∠EHC=90°,

在正方形ABCD中,∠EBC=∠BCH=90°,

∴四邊形EBCH是矩形,

∴EB=HC,

∵四邊形AECF是平行四邊形,G為AE中點(diǎn),

∴AE=CF,BE=DF

∴CH=HF=DF

同理AG=EG=BE

∵AB=1

∴AE=

由①可知∠ENA=90°,

∴NG=(斜邊中線等于斜邊一半)