Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣2x2+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N．是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說(shuō)明理由；

（3）如圖2，點(diǎn)E（0，1）在y軸上，連接AE，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使∠FEO與∠EAO互補(bǔ)，若存在，求點(diǎn)F的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x2+2x+4；（2）不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形；理由見解析；（3）存在，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為或時(shí)，∠FEO與∠EAO互補(bǔ)．

【解析】

（1）求出直線y=﹣2x+4與x軸、y軸交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）利用函數(shù)解析式求出拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），求出MN的長(zhǎng)度，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），求出PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列PD=MN求出m，得到PN==，由PN≠M(fèi)N確定不存在滿足條件的點(diǎn)P；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥y軸于點(diǎn)H，則∠FEO+∠FEH=180°，當(dāng)∠FEO+∠EAO=180°時(shí)，推出∠FEH=∠EAO，證明△AOE∽△∠EFH，得到，再分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在y軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)F在y軸左側(cè)時(shí)，分別將線段長(zhǎng)度代入比例式求出t即可.

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，當(dāng)y=0時(shí)，x=2，

∴點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，4），

把A（2，0），B（0，4）分別代入y=﹣2x2+bx+c中得

，

解之得，

∴拋物線解析式為：y=﹣2x2+2x+4；

（2）不存在．

理由如下：y=﹣2x2+2x+4=（x-）2+，

∴拋物線頂點(diǎn)M（，），

當(dāng)x=時(shí)，y==-3，

∴MN=﹣3=，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），

∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，

∵PD∥MN，

當(dāng)PD=MN時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形，即﹣2m2+4m=，

解得m1=（舍去），m2=，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），

∵PN==，

∴PN≠M(fèi)N，

∴平行四邊形MNPD不為菱形，

∴不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形；

（3）存在.

如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥y軸于點(diǎn)H，則∠FEO+∠FEH=180°，

當(dāng)∠FEO+∠EAO=180°時(shí)，∠FEH=∠EAO，

∵∠FHE=∠AOE=90°，

∴△AOE∽△∠EFH，

∴，

設(shè)點(diǎn)F（t，﹣2t2+2t+4)，則HE=﹣2t2+2t+4﹣1=﹣2t2+2t+3，

當(dāng)點(diǎn)F在y軸右側(cè)時(shí)，HF=t，

∴，

解之得：t=，

∵點(diǎn)F在y軸右側(cè)，

∴t=，

當(dāng)點(diǎn)F在y軸左側(cè)時(shí)，BF=-t，

∴，

解之得：t=，

∵點(diǎn)F在y軸左側(cè)

∴t=．

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為或時(shí)，∠FEO與∠EAO互補(bǔ).