Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C₁：y=-x²+2x+3的頂點(diǎn)為A，與x軸交于兩點(diǎn)．
（1）求A．B．C三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)D，使四邊形ABCD為平行四邊形，求過(guò)A、C、D的拋物線的表達(dá)式．
（3）拋物線C₂與拋物線C₁是否成中心對(duì)稱？若對(duì)稱，請(qǐng)直接寫(xiě)出對(duì)稱中心；若不對(duì)稱，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,平行四邊形的性質(zhì),中心對(duì)稱

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）令拋物線C₁的解析式中的y=0可求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把拋物線的解析式配方就可求出A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過(guò)A、C、D的拋物線C₂的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，然后分別以AC、AB、BC為平行四邊形的對(duì)角線進(jìn)行討論，利用平行四邊形及菱形的性質(zhì)及即可求出D的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問(wèn)題；
（3）可根據(jù)兩拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)是不是互為相反數(shù)來(lái)判定它們是否成中心對(duì)稱，若成中心對(duì)稱，它們的對(duì)稱中心就是兩個(gè)頂點(diǎn)連線段的中點(diǎn)，只需運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式就可求出對(duì)稱中心的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴C的坐標(biāo)為（-1，0），B的坐標(biāo)為（3，0）．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)為A的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）設(shè)過(guò)A、C、D的拋物線C₂的表達(dá)式為y=ax²+bx+c，
①當(dāng)AC為其中的一條對(duì)角線時(shí)，此時(shí)D₁在第二象限，如圖1．
∵四邊形ABCD₁為平行四邊形，
∴AD₁=BC=3-（-1）=4，AD₁∥BC，
∴D₁的坐標(biāo)為（1-4，4）即（-3，4）．
∵頂點(diǎn)為A的坐標(biāo)為（1，4），C的坐標(biāo)為（-1，0），
∴

4=a+b+c 0=a-b+c 4=9a-3b+c

，
解得：

a=1 b=2 c=1

，
∴y=x²+2x+1；
②當(dāng)AB為其中的一條對(duì)角線時(shí)，此時(shí)D在第一象限，如圖1．
∵四邊形ACBD₂為平行四邊形，
∴AD₂=BC=4，AD₂∥BC，
∴D₂的坐標(biāo)為（1+4，4）即（5，4），
∵頂點(diǎn)為A的坐標(biāo)為（1，4），C的坐標(biāo)為（-1，0），
∴

a+b+c=4 a-b+c=0 25a+5b+c=4

解得：

a=- 1 3 b=2 c= 7 3

，
∴y=-

1

3

x²+2x+

7

3

；
③當(dāng)BC為其中的一條對(duì)角線時(shí)，此時(shí)D在第四象限，如圖1．
根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性可得AC=AB，
∴平行四邊形ABD₃C是菱形，
∴點(diǎn)D₃與點(diǎn)A關(guān)于BC對(duì)稱，
∴D₃的坐標(biāo)為（1，-4）．
∵頂點(diǎn)為A的坐標(biāo)為（1，4），C的坐標(biāo)為（-1，0），
∴

a+b+c=4 a-b+c=0 a+b+c=-4

，
該方程組無(wú)解．
綜上所述：過(guò)A、C、D的拋物線C₂的表達(dá)式為y=x²+2x+1或y=-

1

3

x²+2x+

7

3

；

（3）①若拋物線C₂為y=x²+2x+1，如圖2．
∵-1與1互為相反數(shù)，
∴拋物線C₁與拋物線C₂形狀相同，開(kāi)口方向相反，
∴它們成中心對(duì)稱，對(duì)稱中心為兩拋物線頂點(diǎn)連線段AC的中點(diǎn)E．
∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（1，4），
∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：
點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

-1+1

2

，

0+4

2

）即（0，2）；
②若拋物線C₂為y=-

1

3

x²+2x+

7

3

，
∵-

1

3

與-1不是互為相反數(shù)，
∴它們不可能成中心對(duì)稱．
綜上所述：拋物線C₁：y=-x²+2x+3與拋物線C₂：y=x²+2x+1關(guān)于點(diǎn)（0，2）成中心對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、中心對(duì)稱、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，運(yùn)用分類討論是解決第（2）小題的關(guān)鍵．