Question

15．如圖，E、F是?ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AF=CE．
（1）求證：BE=DF；
（2）若DF的延長(zhǎng)線交BC于G，且點(diǎn)E、F是線段AC的三等分點(diǎn)，則$\frac{GF}{FD}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由AF=CE可得AE=CF，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)證明△ABE≌△CDF，從而得出BE=DF；
（2）先證明BE∥GF，由已知條件得出BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，由平行線得出△CGF∽△ADF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果

解答 （1）證明：∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF．
∴AE=CF．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD．AD∥BC，AD=BC，
∴∠BAE=∠DCF．
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴BE=DF；
（2）解：如圖所示：由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠DFC，
∴∠BEC=∠GFC，
∴BE∥GF，
∵點(diǎn)E、F是線段AC的三等分點(diǎn)，
∴AE=EF=FC，
∴BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∵AD∥BC，
∴△CGF∽△ADF，
∴$\frac{GF}{FD}=\frac{CG}{AD}$=$\frac{1}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，由平行線證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．