Question

17．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn)A、B重合的動(dòng)點(diǎn)，BC∥OP，BC=OP．
（1）求證：四邊形AOCP是平行四邊形；
（2）若AB=4，填空：
①當(dāng)AP=2時(shí)，四邊形AOCP是菱形；
②當(dāng)AP=2$\sqrt{2}$時(shí)，四邊形OBCP是正方形．

Answer 1

分析 （1）先判斷出四邊形OBCP是平行四邊形，得出OB=PC，OB∥PC，再判斷出OA=PC，從而得出結(jié)論；
（2）由菱形直接得出鄰邊相等求出AP；
（2）由正方形得出∠AOP為直角，用勾股定理求解即可．

解答 解：（1）∵BC∥OP，BC=OP，
∴四邊形OBCP是平行四邊形，
∴OB=PC，OB∥PC，
∵AB是半圓O的直徑，
∴OA=OB，
∴OA=PC，
∵OB∥PC，
∴四邊形AOCP是平行四邊形；
（2）由（1）知，四邊形AOCP是平行四邊形，
∵四邊形AOCP是菱形；
∴AP=OA=$\frac{1}{2}$AB=2，
故答案為2，
（3）由（1）知，四邊形OBCP是平行四邊形，
∵四邊形OBCP是正方形．
∴∠BOP=∠AOP=90°，
在Rt△AOP中，OA=OP=$\frac{1}{2}$AB=2
根據(jù)勾股定理得AP=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形、正方形的性質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出四邊形AOCP是平行四邊形．