Question

2．在?ABCD中，AC，BD相交于點O，過點O作直線EF，GH分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點，連結EG、GH、FH、HE
（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；
（2）如圖②，當EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是菱形；
（3）如圖③，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是菱形；
（4）如圖④，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）四邊形EGFH是平行四邊形．只要證明OE=OF，OG=OH即可．
（2）當EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是菱形．只要證明EG=EH即可．
（3）在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是菱形，理由同（2）．
（4）四邊形EGFH是正方形．只要證明EF=GH，EF⊥GH，即可．

解答 解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形．
理由：∵平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，
∴點O是平行四邊形ABCD的對稱中心，
∴EO=OF，GO=OH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形．

（2）當EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是菱形．
理由：∵GO=OH，EF⊥GH，
∴EG=EH，
∵四邊形EGFH是平行四邊形，
∴四邊形EGFH是菱形．
故答案為菱形．

（3）在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是菱形．
理由同（2）．
故答案為菱形．

（4）四邊形EGFH是正方形．
理由：∵AC=BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴平行四邊形ABCD是菱形，
∴平行四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC，
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°，
∴∠BOG=∠COF，
∴△BOG≌△COF，
∴OG=OF，
∴GH=EF，
由（1）可知四邊形EGFH是平行四邊形，
∵EF⊥GH，EF=GH，
∴四邊形EGFH是正方形．

點評 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、正方形的判定和性質、全等三角形的判定等知識，解題的關鍵是熟練應用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．