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【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,F為邊AB的中點,DF與對角線AC交于點G,過GGEAD于點E,若AB2,且∠1=∠2,則下列結論中一定成立的是_____(把所有正確結論的序號都填在橫線上).DFAB;CG2GA;CGDF+GE;S四邊形BFGC1

【答案】①②③

【解析】

①由四邊形ABCD是菱形,得出對角線平分對角,求得∠GAD=2,得出AG=GD,AE=ED,由SAS證得△AFG≌△AEG,得出∠AFG=AEG=90°,即可得出①正確;

②由DFAB,F為邊AB的中點,證得AD=BD,證出△ABD為等邊三角形,得出∠BAC=1=2=30°,由AC=2ABcosBACAG,求出ACAG,即可得出②正確;

③由勾股定理求出DF,由GE=tan2ED求出GE,即可得出③正確;

④由S四邊形BFGC=SABCSAGF求出數值,即可得出④不正確.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠FAG=EAG,AB=AD,BCAD,

∴∠1=GAD

∵∠1=2,

∴∠GAD=2,

AG=GD

GEAD,

GE垂直平分AD,

AE=ED

F為邊AB的中點,

AF=AE,

在△AFG和△AEG中,

∴△AFG≌△AEG(SAS),

∴∠AFG=AEG=90°,

DFAB

∴①正確;

連接BDAC于點O

DFAB,F為邊AB的中點,

AFAB=1AD=BD

AB=AD

AD=BD=AB,

∴△ABD為等邊三角形,

∴∠BAD=BCD=60°,

∴∠BAC=1=2=30°,

AC=2AO=2ABcosBAC=2×22

AG,

CG=ACAG=2,

CG=2GA

∴②正確;

GE垂直平分AD,

EDAD=1,

由勾股定理得:DF

GE=tan2ED=tan30°×1,

DF+GEspan>CG,

∴③正確;

∵∠BAC=1=30°,

∴△ABC的邊AC上的高等于AB的一半,即為1

FGAG,

S四邊形BFGC=SABCSAGF211

∴④不正確.

故答案為:①②③.

練習冊系列答案
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