Question

4．如圖，在△ABC 中，AC=24cm，BC=7cm，AB=25cm，P 點(diǎn)在 BC 上從 B 點(diǎn)到 C 點(diǎn) 運(yùn)動（不包括C點(diǎn)），點(diǎn)P運(yùn)動的速度為2cm/s；Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)（不包括A 點(diǎn)），速度為5cm/s．若點(diǎn)P、Q分別從B、C同時(shí)運(yùn)動，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．
（1）經(jīng)過多長時(shí)間后，P、Q兩點(diǎn)的距離為5$\sqrt{2}$cm？
（2）經(jīng)過多長時(shí)間后，△PCQ的面積為15cm²？
（3）請用配方法說明，點(diǎn)P運(yùn)動多少時(shí)間時(shí)△PCQ的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理PC²+CQ²=PQ²，便可求出經(jīng)過1s后，P、Q兩點(diǎn)的距離為5$\sqrt{2}$cm²
（2）根據(jù)三角形的面積公式S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×PC×CQ便可求出經(jīng)過2或1.5s后，S_△PCQ的面積為15cm²
（3）根據(jù)三角形的面積公式S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×PC×CQ以及二次函數(shù)最值便可求出t=1.75s時(shí)△PCQ的面積最大．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過ts后，P、Q兩點(diǎn)的距離為5$\sqrt{2}$cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根據(jù)勾股定理可知PC²+CQ²=PQ²，
代入數(shù)據(jù)（7-2t）²+（5t）²=（5$\sqrt{2}$）²；
解得t=1或t=-$\frac{1}{29}$（不合題意舍去）；

（2）設(shè)經(jīng)過ts后，S_△PCQ的面積為15cm²
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×PC×CQ=$\frac{1}{2}$×（7-2t）×5t=15
解得t₁=2，t₂=1.5，
經(jīng)過2或1.5s后，S_△PCQ的面積為15cm²

（3）設(shè)經(jīng)過ts后，△PCQ的面積最大，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×PC×CQ=$\frac{1}{2}$×（7-2t）×5t=$\frac{5}{2}$×（-2t²+7t）
當(dāng)t=-$\frac{2a}$時(shí)，即t=$\frac{7}{2×2}$=1.75s時(shí)，△PCQ的面積最大，
即S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×PC×CQ=$\frac{1}{2}$×（7-2×1.75）×5×1.75²⁼$\frac{245}{16}$．
當(dāng)時(shí)間為1.75秒時(shí)，最大面積為$\frac{245}{16}$．

點(diǎn)評 此題考查一元二次方程的應(yīng)用和配方法法的應(yīng)用，注意與勾股定理相結(jié)合求得相關(guān)線段的長度，是各地中考的熱點(diǎn)，屬于中檔題．