Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線： 相交于和點(diǎn)兩點(diǎn).

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)是位于直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，以為相鄰兩邊作平行四邊形,當(dāng)平行四邊形的面積最大時(shí)，求此時(shí)四邊形的面積及點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶在拋物線的對稱軸上是否存在定點(diǎn),使拋物線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】⑴；⑵當(dāng) ，□MANB=△= ，此時(shí)；⑶存在. 當(dāng)時(shí)，無論取任何實(shí)數(shù)，均有. 理由見解析.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標(biāo)代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）過點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)M（a，-a2+2a+3），則K（a，a+1），利用函數(shù)思想求出MK的最大值，再求出△AMB面積的最大值，可推出此時(shí)平行四邊形MANB的面積S及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，分別過點(diǎn)B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，設(shè)拋物線對稱軸上存在點(diǎn)F，使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線y=的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則可根據(jù)BF=BN，CF=CN兩組等量關(guān)系列出關(guān)于a的方程組，解方程組即可．

（1）由題意把點(diǎn)（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，

得，，

解得a=-1，c=3，

∴此拋物線C函數(shù)表達(dá)式為：y=-x2+2x+3；

（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，

將點(diǎn)（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，

得，，

解得，k=1，b=1，

∴yAB=x+1，

設(shè)點(diǎn)M（a，-a2+2a+3），則K（a，a+1），

則MK=-a2+2a+3-（a+1）

=-（a-）2+，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a=時(shí)，MK有最大長度，

∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK

=MKAH+MK（xB-xH）

=MK（xB-xA）

=××3

=，

∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，

S最大=2S△AMB最大=2×=，M（，）；

（3）存在點(diǎn)F，

∵y=-x2+2x+3

=-（x-1）2+4，

∴對稱軸為直線x=1，

當(dāng)y=0時(shí)，x1=-1，x2=3，

∴拋物線與點(diǎn)x軸正半軸交于點(diǎn)C（3，0），

如圖2，分別過點(diǎn)B，C作直線y=的垂線，垂足為N，H，

拋物線對稱軸上存在點(diǎn)F，使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線y=的距離，設(shè)F（1，a），連接BF，CF，

則BF=BN=-3=，CF=CH=，

由題意可列：，

解得，a=，

∴F（1，）．