Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF．

（1）線段BE與AF的位置關(guān)系是　 　，=　 ．

（2）如圖2，當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)a時（0°＜a＜180°），連結(jié)AF，BE，（1）中的結(jié)論是否仍然成立．如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

（3）如圖3，當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)a時（0°＜a＜180°），延長FC交AB于點(diǎn)D，如果AD=6﹣2，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）如圖1，線段BE與AF的位置關(guān)系是互相垂直；

∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，

∴AC=2，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，

∴=；

故答案為：互相垂直；；

（2）（1）中結(jié)論仍然成立．

證明：如圖2，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，

∴EC=BC，F(xiàn)C=AC，

∴==，

∵∠BCE=∠ACF=α，

∴△BEC∽△AFC，

∴===，

∴∠1=∠2，

延長BE交AC于點(diǎn)O，交AF于點(diǎn)M

∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2

∴∠BCO=∠AMO=90°

∴BE⊥AF；

（3）如圖3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°

∴AB=4，∠B=60°

過點(diǎn)D作DH⊥BC于H

∴DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2，

∴BH=﹣1，DH=3﹣，

又∵CH=2﹣（﹣1）=3﹣，

∴CH=DH，

∴∠HCD=45°，

∴∠DCA=45°，

∴α=180°﹣45°=135°．