Question

11．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，⊙B與AB、BC交于E、F，點(diǎn)P是弧$\widehat{EF}$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，線段PC繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到PD，連接CD，AD．
（1）求證：△BPC∽△ADC；
（2）當(dāng)四邊形ABCD滿足AD∥CB且是面積為12時(shí)，求⊙B的半徑．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可知：BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB，從而可證明∠BCP=∠ACD，最后依據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似進(jìn)行證明即可；
（2）如圖1所示：先求得△ABC的面積，然后可得到△ADC的面積，依據(jù)三角形的面積公式可得到AD的長，然后依據(jù)相似三角形對應(yīng)邊長比例可求得PB的長；

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=45°，BC：AC=1：$\sqrt{2}$．
∵PD=PC，∠DPC=90°，
∴∠PCD=45°，PC：DC=1：$\sqrt{2}$，
∴BC：AC=PC：DC，∠PCD=∠ACB，
∴∠PCD-∠PCA=∠ACB-∠PCA，
即∠BCP=∠ACD，
∴△BPC∽△ADC．

（2）如圖1所示：

∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∵四邊形ABCD的面積為12，
∴S_△ADC=4．
∵AD∥BC，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•AB=4，即 $\frac{1}{2}$×4×AD=4．
∴AD=2．
∵△BPC∽△ADC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$，即 $\frac{2}{BP}$=$\sqrt{2}$．
解得BP=$\sqrt{2}$．
∴⊙B的半徑為 $\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是圓的有關(guān)知識，等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型．