Question

在平面直角坐標系中，O為原點，點A（﹣2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點．若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）如圖①，當α=90°時，求AE′，BF′的長；

（2）如圖②，當α=135°時，求證AE′=BF′，且AE′⊥BF′；21世紀教育網(wǎng)

（3）直線AE′與直線BF′相交于點P，當點P在坐標軸上時，分別表示出此時點E′、D′、F′的坐標（直接寫出結(jié)果即可）．www-2-1-cnjy-com

Answer 1

解：（1）當α=90°時，點E′與點F重合，如圖①．

∵點A（﹣2，0）點B（0，2），

∴OA=OB=2．

∵點E，點F分別為OA，OB的中點，

∴OE=OF=1

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，

∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．

在Rt△AE′O中，

AE′=．

在Rt△BOF′中，

BF′=．

∴AE′，BF′的長都等于． ———————————————4分

（2）當α=135°時，如圖②．

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)135°所得，

∴∠AOE′=∠BOF′=135°．

在△AOE′和△BOF′中，

，

∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．

∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，

∴∠CPB=∠AOC=90°

∴AE′⊥BF′．——————————————————————9分

（3）點E′（2，0）、D′（2，-2）、F′（0，-2）……12分