Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分別從A、B、C、D出發(fā)沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)即停止．已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ＝xcm（x≠0），則AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．

（Ⅰ）當(dāng)x為何值時(shí)，AP、ND長(zhǎng)度相等？

（Ⅱ）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ、MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊能構(gòu)成一個(gè)三角形？

（Ⅲ）當(dāng)x為何值時(shí)，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)x為2時(shí)，AP、ND長(zhǎng)度相等；（Ⅱ）當(dāng)x為時(shí)，以PQ、MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊能構(gòu)成一個(gè)三角形；（Ⅲ）當(dāng)x＝2或x＝4時(shí)，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】

(Ⅰ)由題意得出方程，解方程即可；

(Ⅱ)分點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合兩種情況，由題意得出方程，解方程即可；

(Ⅲ) 把P、N兩點(diǎn)分兩種情況討論，點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)或點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)，進(jìn)一步利用平行四邊形的性質(zhì)聯(lián)立方程解答即可．

(Ⅰ)∵，

∴AP=ND時(shí)，即，

解得：或(舍去)，

∴當(dāng)為2時(shí)，AP、ND長(zhǎng)度相等；

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形，

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，

由題意得：，

解得： (舍去)，

∵，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合，

∴符合題意；

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，

由題意得：，

解得：，

此時(shí)，不符合題意，

∴點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合．

綜上所述，所求的值為：；

(Ⅲ)∵當(dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)M點(diǎn)和Q點(diǎn)還未相遇，

∴點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，如圖1所示：

由題意得：，

解得： (舍去)，，

當(dāng)時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形；

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，如圖2所示：

由題意得：，

解得：(舍去)，，

當(dāng)時(shí)，四邊形NQMP是平行四邊形；

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．