Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，在x軸上任取一點(diǎn)M．連接AM，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)M為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于G，H兩點(diǎn)，作直線GH，過點(diǎn)M作x軸的垂線l交直線GH于點(diǎn)P．根據(jù)以上操作，完成下列問題．

探究：

（1）線段PA與PM的數(shù)量關(guān)系為________，其理由為：________________．

（2）在x軸上多次改變點(diǎn)M的位置，按上述作圖方法得到相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并完成下列表格：

M的坐標(biāo)	…					…
P的坐標(biāo)	…					…

猜想：

（3）請根據(jù)上述表格中P點(diǎn)的坐標(biāo)，把這些點(diǎn)用平滑的曲線在圖2中連接起來；觀察畫出的曲線L，猜想曲線L的形狀是________．

驗(yàn)證：

（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，根據(jù)圖1中線段PA與PM的關(guān)系，求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

應(yīng)用：

（5）如圖3，點(diǎn)，，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；（2）圖見解析，拋物線；（3）見解析；（4）；（5）

【解析】

（1）由尺規(guī)作圖的步驟可知，HG是AM的中垂線，結(jié)合中垂線的性質(zhì)，即可得到答案；

（2）根據(jù)第（1）的作圖方法，得到相應(yīng)點(diǎn)P的位置，即可求解；

（3）用平滑的曲線作出圖象，即可；

（4）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，用含x，y的代數(shù)式表示，，，結(jié)合勾股定理，即可得到答案；

（5）連接，由題意得當(dāng)時(shí)，在的外接圓上，弧所對(duì)的圓心角為60°，的外接圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)，求出b的值，進(jìn)而即可求解．

解：（1） 線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

（2）

M的坐標(biāo)	…					…
P的坐標(biāo)	…					…

（3）草圖見圖2：形狀：拋物線

（4）如圖1，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，

，，

在中，

即

化簡，得

∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．

（5）連接，易得，又

∴為等邊三角形，∴

當(dāng)時(shí)，在的外接圓上，弧所對(duì)的圓心角為60°

其圓心在的垂直平分線y軸上，

∴的外接圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，

設(shè)，則，即 ①

又點(diǎn)D在該拋物線上

∴ ②

由①②聯(lián)立解得：（舍去）

數(shù)形結(jié)合可得，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍為