Question

17．如圖，平面直角坐標系xOy 中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸、y軸分別交于點A、B，動點P從點B出發(fā)在線段BO上以每秒1個單位長度的速度向終點O移動，同時動點Q從點A出發(fā)在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向終點B移動，當其中一個點運動到終點時，另一個點也隨之停止運動，設點P，Q移動的時間為t秒．
（1）當t=$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$時，△BPQ是直角三角形；
（2）當t為何值時，△BPQ的面積為$\frac{24}{5}$個平方單位？
（3）當∠OPQ+2∠OAB=180°時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸、y軸分別交于點A、B，求得OA=8，OB=6，AB=10，再分兩種情況進行討論：當∠BPQ=90°=∠O時，當∠BQP=90°=∠O，分別根據(jù)相似三角形的性質進行計算求解即可；
（2）先過點Q作QH⊥OB于H，則QH∥AO，得到△BHQ∽△BOA，求得QH=8-$\frac{8}{5}$t，再根據(jù)△BPQ的面積為$\frac{24}{5}$個平方單位，列方程求解，得出t的值即可；
（3）先根據(jù)∠OPQ+∠BPQ=180°，∠OPQ+2∠OAB=180°，得出∠BPQ=2∠A，再過點P作PG⊥AB于G，則∠BPG=∠A，進而得出△PBG≌△PQG，得出BG=GQ=$\frac{1}{2}$BQ=5-t，最后根據(jù)△BGP∽△BOA，列出比例式求得t的值即可．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴A（8，0），B（0，6），
即OA=8，OB=6，
∴Rt△AOB中，AB=10，
由題可得，BP=t，AQ=2t，BQ=10-2t，
如圖1，當∠BPQ=90°=∠O時，PQ∥OA，
∴△BPQ∽△BOA，
∴$\frac{BP}{BO}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得t=$\frac{30}{11}$；
如圖2，當∠BQP=90°=∠O，∠B=∠B時，
△BQP∽△BOA，
∴$\frac{BQ}{BO}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{10-2t}{6}$=$\frac{t}{10}$，
解得t=$\frac{50}{13}$，
∴綜上所述，當t=$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$秒時，△BPQ是直角三角形；

（2）如圖3，過點Q作QH⊥OB于H，則QH∥AO，
∴△BHQ∽△BOA，
∴$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{QH}{AO}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{QH}{8}$，
解得QH=8-$\frac{8}{5}$t，
∴當△BPQ的面積為$\frac{24}{5}$個平方單位時，$\frac{1}{2}$×BP×HQ=$\frac{24}{5}$，
即$\frac{1}{2}$×t×（8-$\frac{8}{5}$t）=$\frac{24}{5}$，
解得t=2或3，
∴t為2或3秒時，△BPQ的面積為$\frac{24}{5}$個平方單位；

（3）如圖4，∵∠OPQ+∠BPQ=180°，
∴當∠OPQ+2∠OAB=180°時，∠BPQ=2∠A，
過點P作PG⊥AB于G，則∠BPG=∠A，
∴∠QPG=∠BPG=∠A，
又∵∠BGP=∠QGP=90°，PG=PG，
∴△PBG≌△PQG，
∴BG=GQ=$\frac{1}{2}$BQ=5-t，
∵∠PGB=∠O=90°，∠B=∠B，
∴△BGP∽△BOA，
∴$\frac{BG}{BO}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{5-t}{6}$=$\frac{t}{10}$，
解得t=$\frac{25}{8}$，
∴當∠OPQ+2∠OAB=180°時，t的值為$\frac{25}{8}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積，全等三角形的判定與性質，勾股定理以及一次函數(shù)的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線畫出相應的圖形進行分類討論，依據(jù)相似三角形的對應邊成比例，列出比例式進行計算求解．解題時注意分類思想的運用．