Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，DA上，且四邊形EFGH也是正方形，設AE=x，正方形EFGH的面積為S．

（1）求證：△AEH≌△BFE；

（2）求S與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式；正方形的性質(zhì)．

【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，用AAS證明△AEH≌△BFE；

（2）利用△AEH≌△BFE，得到BF=AE=x，利用勾股定理，在Rt△BFE中，EF²=BF²+BE²=x²+（1﹣x）²，所以S=EF²=x²+（1﹣x）²=2x²﹣2x+1．

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，四邊形EFGH也是正方形，

∴∠A=∠B=∠HEF=90°，EH=FE，

∴∠AEH+∠AHE=90°，∠AEH+∠BEF=90°，

∴∠AHE=∠BEF，

在△AEH和△BFE中，

，

∴△AEH≌△BFE．

（2）∵△AEH≌△BFE，

∴BF=AE=x，（0＜x＜1）

在Rt△BFE中，EF²=BF²+BE²=x²+（1﹣x）²，

∴S=EF²=x²+（1﹣x）²=2x²﹣2x+1，（0＜x＜1）

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關鍵是證明）△AEH≌△BFE．