Question

如圖，直線y₁=﹣x+2與x軸，y軸分別交于B，C，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A，B，C，點A坐標為（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點D，連接CD，點P是直線BC上方拋物線上的一動點（不與B，C重合），當點P運動到何處時，四邊形PCDB的面積最大？求出此時四邊形PCDB面積的最大值和點P坐標；

（3）在拋物線上的對稱軸上是否存在一點Q，使△QCD是以CD為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）分別令解析式y(tǒng)=﹣x+2中x=0和y=0，求出點B、點C的坐標；設二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，將點A、B、C的坐標代入解析式，求出a、b、c的值，進而求得解析式；

（2）設出M點的坐標為（a，﹣a+2），就可以表示出P的坐標，由四邊形PCDB的面積=S_△BCD+S_△CPM+S_△PMB求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；

（3）由（2）的解析式求出頂點坐標，再由勾股定理求出CD的值，再以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于Q₁，以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點Q₂，Q₃，作CE垂直于對稱軸與點E，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論．

【解答】解：（1）令x=0，可得y=2，

令y=0，可得x=4，

即點B（4，0），C（0，2）；

設二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，

將點A、B、C的坐標代入解析式得，

，

解得：，

即該二次函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣x²+x+2；

（2）如圖1，過點P作PN⊥x軸于點N，交BC于點M，過點C作CE⊥PN于E，

設M（a，﹣a+2），P（a，﹣a²+a+2），

∴PM=﹣a²+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a²+2a（0≤x≤4）．

∵y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣）²+，

∴點D的坐標為：（，0），

∵S_{四邊形PCDB}=S_△BCD+S_△CPM+S_△PMB=BD•OC+PM•CE+PM•BN，

=+a（﹣a²+2a）+（4﹣a）（﹣a²+2a），

=﹣a²+4a+（0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）²+

∴a=2時，S_{四邊形PCDB的面積最大}=，

∴﹣a²+a+2=﹣×2²+×2+2=3，

∴點P坐標為：（2，3），

∴當點P運動到（2，3）時，四邊形PCDB的面積最大，最大值為；

（3）如圖2，∵拋物線的對稱軸是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDQ是以CD為腰的等腰三角形，

∴CQ₁=DQ₂=DQ₃=CD．

如圖2所示，作CE⊥對稱軸于E，

∴EQ₁=ED=2，

∴DQ₁=4．

∴Q₁（，4），Q₂（，），Q₃（，﹣）．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，四邊形的面積的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．