Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、AB上兩點，且BE=BF，過點B作AE的垂線交AC于點G，過點G作CF的垂線交BC于點H延長線段AE、GH交于點M．

（1）求證：∠BFC=∠BEA；

（2）求證：AM=BG+GM。

       

Answer 1

證明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，

在△ABE和△CBF中，

 AB=BC ∠ABC=∠ABC BE=BF   ，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴∠BFC=∠BEA；

（2）連接DG，在△ABG和△ADG中，

 AB=AD ∠DAC=∠BAC=45° AG=AG   ，

∴△ABG≌△ADG（SAS），

∴BG=DG，∠2=∠3，

∵BG⊥AE，

∴∠BAE+∠2=90°，

∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，

∴∠2=∠3=∠4，

∵GM⊥CF，

∴∠BCF+∠1=90°，

又∠BCF+∠BFC=90°，

∴∠1=∠BFC=∠2，

∴∠1=∠3，

在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，

∴∠DGC也是△CGH的外角，

∴D、G、M三點共線，

∵∠3=∠4（已證），

∴AM=DM，

∵DM=DG+GM=BG+GM，

∴AM=BG+GM．