Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<4).解答下列問(wèn)題：

⑴當(dāng)t為何值時(shí)，PQ⊥AB？

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使PQ分四邊形BCDE兩部分的面積之比為S_△PQE：S五邊形_PQBCD=1:29？若存在，求出此時(shí)t的值以及點(diǎn)E到PQ的距離h；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△PEQ為等腰三角形？

 

Answer 1

解：⑴如圖①，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB==10.

∵D、E分別是AC、AB的中點(diǎn).

∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且DE=BC =4,因?yàn)?i>PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=90°，又DE∥BC，∴∠AED=∠B，∴△PQE∽△ACB，∴ =   .

由題意得：PE=4－t,QE=2t－5,即= ,解得t= .                -------2分

⑵過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于M，由△PME∽△ABC，得.∴，∴.

∴S_{五邊形PQBCD} =18－()=                --------1分

假設(shè)存在時(shí)刻t,使S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1:29，此時(shí)S_△PQE=.∴，即2t²－13t+18=0. ∴t₁=2,t₂=(舍去).                            ------------3分                             

當(dāng)t=2時(shí)，PM=  EQ=5－2×2=1，MQ=ME+EQ=，PQ=.

∵PQ·h=，∴h=                  --------2分

（3）1、、3、