Question

已知△ABC中，∠C是其最小的內(nèi)角，如果過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線．例如：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=20°，過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線BD交AC于點(diǎn)D，且∠DBC=20°，顯然直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線．

（1）如圖2，在△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線，并標(biāo)注角度；

（2）在△ABC中，設(shè)∠B的度數(shù)為y，最小內(nèi)角∠C的度數(shù)為x．試探索y與x之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ABC存在關(guān)于點(diǎn)B的伴侶分割線．

Answer 1

【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．

【分析】（1）首先了解伴侶分割線的定義，然后把角ABC分成90°角和20°角即可；

（2）設(shè)BD為△ABC的伴侶分割線，分以下兩種情況．第一種情況：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二種情況：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分別進(jìn)行分析．

【解答】解：（1）如圖所示：

（2）設(shè)BD為△ABC的伴侶分割線，分以下兩種情況．

第一種情況：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，

易知∠C和∠DBC必為底角，∴∠DBC=∠C=x．

當(dāng)∠A=90°時(shí)，△ABC存在伴侶分割線，此時(shí)y=90°﹣x，

當(dāng)∠ABD=90°時(shí)，△ABC存在伴侶分割線，此時(shí)y=90°+x，

當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，△ABC存在伴侶分割線，此時(shí)x=45°且y＞x；

第二種情況：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，

當(dāng)∠DBC=90°時(shí)，若BD=AD，則△ABC存在伴侶分割線，

此時(shí)180°﹣x﹣y=y﹣90°，∴y=135°﹣x，

當(dāng)∠BDC=90°時(shí)，若BD=AD，則△ABC存在伴侶分割線，

此時(shí)∠A=45°，∴y=135°﹣x．

綜上所述，當(dāng)y=90°﹣x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°﹣x或y=135°﹣x時(shí)△ABC存在伴侶分割線．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)作圖，關(guān)鍵是正確理解題意，了解伴侶分割線的意義．