Question

（理）設(shè)f（x）=kx-

k

x

-21nx．
（1）若f'（2）=

1

4

，求f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求k的取值范圍；
（3）若k=1時，求證：n（n+1）1n（1+

1

n

）＜n+

1

2

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)和切線的斜率，即可得到切線方程；
（2）令h（x）=kx²-2x+k，要使f（x）在區(qū)間[2，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，只需h（x）在[2，+∞）內(nèi)不小于0恒成立．運(yùn)用分離參數(shù)，得到k≥

2x

x2+1

在[2，+∞）內(nèi)恒成立．求出右邊的最小值，令k不小于它；
（3）當(dāng)k=1時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，則當(dāng)x＞1時，f（x）=x-

1

x

-2lnx＞0，令x=

n+1

n

＞1（n∈N*），化簡整理即可得證．

解答： （1）解：f（x）=kx-

k

x

-21nx．f′（x）=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，
∵f′（2）=

1

4

，∴k=1，∵f（2）=

3

2

-2ln2，
∴f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為：y=

1

4

x+1-2ln2；
（2）解：f′（x）=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，令h（x）=kx²-2x+k，
要使f（x）在區(qū)間[2，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，
只需h（x）在[2，+∞）內(nèi)不小于0恒成立．
h（x）≥0，即kx²-2x+k≥0，即k≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在[2，+∞）內(nèi)恒成立．
∵x≥2，∴x+

1

x

≥

5

2

，∴

2

x+ 1 x

≤

4

5

，
∴k≥

4

5

，即k的取值范圍是[

4

5

，+∞）；
（3）證明：當(dāng)k=1時，f（x）=x-

1

x

-2lnx，f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＞1時，f（x）=x-

1

x

-2lnx＞f（1）=0，
令x=

n+1

n

＞1（n∈N*），得f（

n+1

n

）=

n+1

n

-

n

n+1

-2ln

n+1

n

＞0
∴2n+1-2n（n+1）ln

n+1

n

＞0，∴2n（n+1）ln

n+1

n

＜2n+1，
則n（n+1）1n（1+

1

n

）＜n+

1

2

（n∈N^*）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及運(yùn)用，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題考查運(yùn)算推理能力，屬于中檔題．