Question

用455個棱長為1的小正方體粘成一個大的長方體，若拆下沿梭的小正方體，則尚余下371個小正方體，問所粘成的大長方體的棱長各是多少？拆下沿棱的小正方體后的多面體（如圖）的表面積是多少？

Answer 1

考點：圖形的拆拼（切拼）

專題：立體圖形的認(rèn)識與計算

分析：（1）①設(shè)長方體長寬高分別為x、y、z無仿設(shè)x≥z≥y，它們只能取正整數(shù)．長方體的體積是455，則有x×y×z=455，分解455=5×7×13，即：x×y×z=5×7×13；②沿棱拆下的小正方體有455-371=84個，若認(rèn)為從“長”邊拆下的小正方體為（x-1）個，則從每個“寬”邊拆下的小正方體為（y-1）個，而從每個“高”邊拆下的小正方體為（z-2）個，應(yīng)當(dāng)有下面關(guān)系式：4×（x-1+y-1+z-2）=84，x+y+z=25，剪出求出x、y、z的正整數(shù)解即可解答問題；
（2）如圖，拆下沿棱的小正方體后的多面體的表面積由兩部分組成：
第一部分是突出在外面的6個平面，總面積是：2×（11×5+11×3+5×3）=206．
第二部分是24個寬都是1的長條，總面積是：8×（11+3+5）=152．把這兩部分面積加起來即可解答．

解答： 解：（1）①設(shè)長方體長寬高分別為x、y、z無仿設(shè)x≥z≥y，它們只能取正整數(shù)．長方體的體積是455，則有x×y×z=455，分解455=5×7×13，即：x×y×z=5×7×13；
②沿棱拆下的小正方體有455-371=84個，若認(rèn)為從“長”邊拆下的小正方體為（x-1）個，則從每個“寬”邊拆下的小正方體為（y-1）個，而從每個“高”邊拆下的小正方體為（z-2）個，應(yīng)當(dāng)有下面關(guān)系式：4×（x-1+y-1+z-2）=84，x+y+z=25，．
既然x，y，z只取正整數(shù)，驗證x=13，z=7，y=5是唯一解．
答：所粘成的大長方體的棱長分別是13、7、5．

（2）第一部分是突出在外面的6個平面，總面積是：2×（11×5+11×3+5×3）=206．
第二部分是24個寬都是1的長條，總面積是：8×（11+3+5）=152．
206+152=358
答：這個長方體的表面積是358．

點評：解答此題的關(guān)鍵是求出這個長方體的長寬高的值，求它的表面積時，也可以這樣思考：拆下沿棱的小正方體后的多面體的表面積和原長方體表面積去掉8個頂點處的小正方體的三個側(cè)面的面積相同（想像一下為什么）．所以，2×（13×7+13×5+7×5）-3×8=358．