Question

四個不同的三位數(shù)，它們的百位數(shù)字相同，并且其中有三個數(shù)能整除這四個數(shù)的和．求這四個數(shù)．

Answer 1

考點：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：設這4個數(shù)分別為A、B、C、D，和為S，S能被A、B、C整除，設S÷A=K₁，S÷B=K₂，S÷C=K₃，并設A＜B＜C，則K₁＞K₂＞K₃（K₁、K₂、K₃均為整數(shù)）．然后通過推理論證，求出K值，進而求出A、B、C、D的值，解決問題．

解答： 解：設這4個數(shù)分別為A、B、C、D，和為S，S能被A、B、C整除，設S÷A=K₁，S÷B=K₂，S÷C=K₃，并設A＜B＜C，則K₁＞K₂＞K₃（K₁、K₂、K₃均為整數(shù)）．下面我們說明K₁≤6，K₃≥3．如果K₁＞6，設為7，即設S÷A=7，A=

1

7

S，B+C+D=S-A=

6

7

S，
B、C、D中至少有一個不小于

2

7

S，這與A、B、C、D的百位數(shù)字相同相矛盾，所以K₁≤6；同樣地，如果K₃＜3，設為2，即C=

1

2

S，則A+B+D=S-C=

1

2

S，A、B、D中至少有一個不大于

1

6

S，也與A、B、C、D的百位數(shù)字相同相矛盾，所以K₃≥3．又因為A、B、C、D不相同，即K₁、K₂、K₃只能是5、4、3或6、5、4，但當K₁=6、K₂=5、K₃=4時，D=S-（A+B+C）=S-（

S

6

+

S

5

+

S

4

）=

23

60

S，也與A、B、C、D的百位數(shù)字相同相矛盾，
所以，K₁、K₂、K₃只能是5、4、3．此時，S必為3×4×5=60的倍數(shù)．設S=60K，則A=12K，B=15K，C=20K，D=13K，但A、B、C、D為百位數(shù)字相同的三位數(shù)，故K=9，即A=108，B=135，C=180，D=117．
答：這四個數(shù)為：108，135，180，117．

點評：此題解答起來較復雜，通過設數(shù)與推理論證，逐步解決問題．