Question

10．一個裝滿水的圓錐形容器，底面積為80cm²，高為18cm，將這些水全部倒入一個長方體水槽中，已知這個長方體水槽的長、寬、高分別是10cm、6cm、15cm，①求這個長方體水槽中水的深度；②如果把一個底面半徑為2厘米的圓柱形鐵塊A垂直放入長方體水槽中，當它的一個底面在水中與長方體水槽的底面完全接觸時，仍有$\frac{2}{7}$的鐵塊露出水面，如果再將同樣規(guī)格的另一個圓柱形鐵塊B也垂直放入長方體水槽中，此時兩個鐵塊還能有露出水面的部分嗎？若有露出水面的部分，請求出圓柱形鐵塊A露出水面部分的高是多少厘米；若沒有露出水面的部分，請求出長方體水槽中的水面上升了多少厘米？（π取3）

Answer 1

分析 （1）把這個圓錐體內的水倒入長方體容器內，體積不變，根據(jù)圓錐的體積計算公式“V=$\frac{1}{3}$Sh”及長方體的體積計算公式“V=abh”即可求出長方體容器內水的高度．
（2）設圓柱形鐵塊A的高為h厘米，把它直放入長方體水槽中，水淹沒部分為（1-$\frac{2}{7}$）h，由此即可求出淹沒部分的體積，淹沒部分的體積等于水上升的體積，由此即可列方程解答求出h．
（3）假設水把兩個鐵塊都淹沒，水面積則上升[（3×2²×2×14）÷（10×6）]厘米，求出這個高度與14cm比較即可確定圓柱形鐵塊露出還是淹沒在水中．再同（2）列方程求出鐵塊A淹沒的高度，進而求出長方體水槽中的水面上升的高度．

解答 解：（1）長方體容器中水的高度：
（$\frac{1}{3}$×80×18）÷（10×6）
=480÷60
=8（cm）

（2）高圓柱形鐵塊A的高為hcm．
3×2²×（1-$\frac{2}{7}$）h=10×6×[（1-$\frac{2}{7}$）h-8]
           3×4×$\frac{5}{7}$h=10×6×$\frac{5}{7}$h-10×6×8
                $\frac{60}{7}$h=$\frac{300}{7}$h-480
 $\frac{60}{7}$h-$\frac{60}{7}$h+480=$\frac{300}{7}$h-480-$\frac{60}{7}$h+480
                  480=$\frac{240}{7}$h
          480÷$\frac{240}{7}$=$\frac{240}{7}$h÷$\frac{240}{7}$
                     14=h
                      h=14

（3）假設圓柱全被淹沒，則水面上升：
3×2²×2×14÷﹙10×6﹚
=351.68÷60
=5$\frac{323}{375}$（cm）
因為5$\frac{323}{375}$cm＜14cm
所以兩個鐵塊還能露出水面
    3×2²×2×h=10×6×﹙h-8﹚
            24h=10×6×（h-8）
            24h=60h-480
24h-24h+480=60h-480-24h+480
            480=36h
       480÷36=3h6÷36
           13$\frac{1}{3}$=h
            即h=13$\frac{1}{3}$
14-13$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$（cm）
答：長方體水槽中的水面上升了$\frac{2}{3}$厘米．

點評 此題難度大．關鍵是求出圓錐容器中的水倒入長方體容器中水的高度，再求出鐵塊的高度，求出鐵塊被淹沒的高度．