Question

已知在乘積1×2×3×…×N的尾部恰好有100個連續(xù)的“0”．N的最大值是

409

．

Answer 1

分析：因為10=2×5，尾部出現一個零，所乘的因數中就要有一個成對的“2”和“5”．因為所乘數為1至400中的連續(xù)自然數，因此，其中質因數2的個數遠遠多于質因數5的個數，這樣，要讓尾部恰好有100個連續(xù)的“0”，只需讓所乘的因數中有100個質因數“5”．當N=400時，1，2，3，…．，400中共有5有倍數400÷5=80（個），其中25的倍數有400÷25=16（個），125的倍數有400÷125=3（個）．80+16+3=99；所以1×2×3×…×400中含有99個質因數2的個數多于99個．所以，1×2×3×…×400的尾部有99個連續(xù)的“0”．
現在還缺1個“0”，只要在400后面出現一個5（不是25、125…）的倍數．第一個出現的是405，而N必須最大，顯然這個N應該是409．

解答：解：根據題干分析可得：當N=400時，1，2，3，…．，400中共有5有倍數400÷5=80（個），其中25的倍數有400÷25=16（個），125的倍數有400÷125=3（個）．
80+16+3=99；
所以1×2×3×…×400中含有99個質因數2的個數多于99個．
所以，1×2×3×…×400的尾部有99個連續(xù)的“0”．
現在還缺1個“0”，只要在400后面出現一個5（不是25、125…）的倍數．
所以400以后，第一個出現的5的倍數是405，
而N必須最大，顯然這個N應該是409．
故答案為：409．

點評：解答此題的關鍵是根據質因數2和5的個數成對特點，得出：只需讓所乘的因數中有100個質因數“5”即可使積的末尾恰好有100個0，據此分析即可解答問題．