題目列表(包括答案和解析)
設函數(shù).
(Ⅰ) 當時,求
的單調區(qū)間;
(Ⅱ) 若在
上的最大值為
,求
的值.
【解析】第一問中利用函數(shù)的定義域為(0,2),
.
當a=1時,所以
的單調遞增區(qū)間為(0,
),單調遞減區(qū)間為(
,2);
第二問中,利用當時,
>0, 即
在
上單調遞增,故
在
上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解:函數(shù)的定義域為(0,2),
.
(1)當時,
所以
的單調遞增區(qū)間為(0,
),單調遞減區(qū)間為(
,2);
(2)當時,
>0, 即
在
上單調遞增,故
在
上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
某跨國飲料公司對全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5-8千美元的地區(qū)銷售該公司A飲料的情況的調查中發(fā)現(xiàn):人均GDP處在中等的地區(qū)對該飲料的銷售量最多,然后向兩邊遞減。
(Ⅰ)下列幾個模擬函數(shù)中(x表示人均GDP,單位:千美元,y表示年人均A飲料的銷量,單位;升),用哪個來描述人均A飲料銷量與地區(qū)的人均GDP的關系更合適?說明理由。
①, ②
, ③
, ④
(Ⅱ)若人均GDP為1千美元時,年人均A飲料的銷量為2升;若人均GDP為4千美元時,年人均A飲料的銷量為5升,把(Ⅰ)中你所選的模擬函數(shù)求出來,并求在各個地區(qū)中,年人均A飲料的銷量最多是多少?
(Ⅲ)因為A飲料在B國被檢測出殺蟲劑的含量超標,受此事件的影響,A飲料在人均GDP低于3千美元和高于6千美元的地區(qū)銷量下降5%,其它地區(qū)的銷量下降10%,根據(jù)(Ⅱ)所求出的模擬函數(shù),求在各個地區(qū)中,年人均A飲料的銷量最多為多少?
某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5千美元~8千美元的地區(qū)銷售該公司飲料的情況的調查中發(fā)現(xiàn):人均GDP處在中等的地區(qū)對該飲料的銷售量最多,然后向兩邊遞減。
(1)下列幾個模擬函數(shù)中表示人均GDP,單位:千美元,
表示年人均
飲料的銷量,單位:升),用哪個模擬函數(shù)來描述人均
飲料銷量與地區(qū)的人均
關系更合適?說明理由。①
②
,③
,④
。
(2)若人均GDP為1千美元時,年人均飲料的銷量為2升;若人均GDP為4千美元時,年人均
飲料的銷量為5升,把(1)中你所選的模擬函數(shù)求出來,并求出各個地區(qū)中,年人均
飲料的銷量最多是多少?
設函數(shù),其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)記曲線在點
(其中
)處的切線為
,
與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
,求
的最大值.
【解析】第一問利用由已知,所以
,
由,得
,
所以,在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調遞減;
在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調遞增;
第二問中,因為,所以曲線
在點
處切線為
:
.
切線與
軸的交點為
,與
軸的交點為
,
因為,所以
,
, 在區(qū)間
上,函數(shù)
單調遞增,在區(qū)間
上,函數(shù)
單調遞減.所以,當
時,
有最大值,此時
,
解:(Ⅰ)由已知,所以
,
由
,得
, 所以,在區(qū)間
上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調遞減;
在區(qū)間上,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調遞增;
即函數(shù)的單調遞減區(qū)間為
,單調遞增區(qū)間為
.
(Ⅱ)因為,所以曲線
在點
處切線為
:
.
切線與
軸的交點為
,與
軸的交點為
,
因為,所以
,
, 在區(qū)間
上,函數(shù)
單調遞增,在區(qū)間
上,函數(shù)
單調遞減.所以,當
時,
有最大值,此時
,
所以,的最大值為
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