精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

設函數，其中為自然對數的底數.

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）記曲線在點（其中）處的切線為，與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最大值.

【解析】第一問利用由已知，所以，

由，得， 所以，在區(qū)間上，，函數在區(qū)間上單調遞減； 在區(qū)間上，，函數在區(qū)間上單調遞增；

第二問中，因為，所以曲線在點處切線為：.

切線與軸的交點為，與軸的交點為，

因為，所以，  

， 在區(qū)間上，函數單調遞增，在區(qū)間上，函數單調遞減.所以，當時，有最大值，此時，

解：（Ⅰ）由已知，所以， 由，得，  所以，在區(qū)間上，，函數在區(qū)間上單調遞減； 

在區(qū)間上，，函數在區(qū)間上單調遞增；  

即函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.

（Ⅱ）因為，所以曲線在點處切線為：.

切線與軸的交點為，與軸的交點為，

因為，所以，  

， 在區(qū)間上，函數單調遞增，在區(qū)間上，函數單調遞減.所以，當時，有最大值，此時，

所以，的最大值為

 

【答案】

（Ⅰ）函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.

（Ⅱ）的最大值為.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2013-2014學年廣東省揭陽市高三學業(yè)水平考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

設函數，其中，為正整數，、、均為常數，曲線在處的切線方程為.

（1）求、、的值；

（2）求函數的最大值；

（3）證明：對任意的都有.（為自然對數的底）

 

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2013-2014學年江西省七校高三上學期第一次聯(lián)考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數，其中a>0.

（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實數a的值；

（Ⅲ）設，求在區(qū)間上的最大值（其中e為自然對的底數）。

 

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2012-2013學年浙江省高三12月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（滿分１5分）設函數，，（其中為自然底數）；

（Ⅰ）求（）的最小值；

（Ⅱ）探究是否存在一次函數使得且對一切恒成立；若存在，求出一次函數的表達式，若不存在，說明理由；

（Ⅲ）數列中，，，求證：。

 

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：陜西省模擬題 題型：解答題

已知，函數（其中為自然對數的底數）．  
（1）求函數在區(qū)間上的最小值；  
（2）設，當時，若對任意，存在，使得，求實數的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2011-2012學年四川省成都市模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數其中為自然對數的底數， .(Ⅰ)設，求函數的最值；（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

【解析】第一問中，當時，，．結合表格和導數的知識判定單調性和極值，進而得到最值。

第二問中，∵，，      

∴原不等式等價于：,

即, 亦即

分離參數的思想求解參數的范圍

解：（Ⅰ)當時，，．

當在上變化時，，的變化情況如下表：

 

－

＋

 

1／e

∴時，，．

(Ⅱ)∵，，      

∴原不等式等價于：,

即, 亦即．

∴對于任意的，原不等式恒成立,等價于對恒成立,

∵對于任意的時, （當且僅當時取等號）．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范圍是

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案