如圖.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1=.AB=l.E是DD1的中點. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝AA1，點E在棱CC1上．

(Ⅰ)若B1E⊥BC1，求證：AC1⊥平面B1D1E；

(Ⅱ)設＝λ，問是否存在實數(shù)λ，使得平面AD1E⊥平面B1D1E，若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，E為棱AA1上一點，且C1E⊥平面BDE．

(Ⅰ)求直線BD1與平面BDE所成角的正弦值；

(Ⅱ)求二面角C－BE－D的余弦值．

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如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝AA1，點E在棱CC1上．

(Ⅰ)若B1E⊥BC1，求證：AC1⊥平面B1D1E；

(Ⅱ)若E是CC1的中點，求證：△AD1E的面積是△B1D1E面積的倍．

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如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1＝AB．點E、M分別為A1B1、C1C的中點，過點A1，B、M的平面交C1D1于N

(1)求證EM∥平面A1B1C1D1．

(2)求二面角B－A1N－B1的正切值

(3)設截面A1BMN把該正四棱柱截成的兩個幾何體的體積為V1，V2(V1＜V2)，求V1∶V2的值．

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如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，點E，M分別為A1B，C1C的中點，過點A1，B，M三點的平面A1BMN交C1D1于點N

(Ⅰ)求證：EM∥平面A1B1C1D1；

(Ⅱ)求二面角B－A1N－B1的正切值；

(Ⅲ)(文)設A1A＝1，求棱臺MNC1－BA1B1的體積V．

(理)設截面A1BMN把該正四棱柱截成的兩個幾何體的體積分別為V1，V2(V1＜V2)，求V1∶V2的值．

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一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.B         2.C         3.A         4.A       5.B       6.C      7.D     8.C

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.0.3                 10.－1               11.4

12.24；81             13.1；45°          14.2 |x|

注：兩空的題目，第一個空2分，第二個空3分.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.

15.(本小題滿分12分)

(Ⅰ)解：

∵函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過點，

∴          2分  即                   4分

解得a=1，b=－.                                                         6分

(Ⅱ)解：

由(Ⅰ)得f(x)=sinx－cosx=2sin（）.                                   8分

∵0≤x≤π，              ∴－                               9分

當x－，即x=時，sin取得最大值1.                        11分

∴f(x)在[0，π]上的最大值為2，此時x=.                                   12分

16.(本小題滿分13分)

(Ⅰ)解：

記“甲投球命中”為事件A，“乙投球命中”為事件B，則A，B相互獨立，

且P(A)=，P(B)=.

那么兩人均沒有命中的概率P=P()=P()P()=.         －5分

(Ⅱ)解：

記“乙恰好比甲多命中1次”為事件C，“乙恰好投球命中1次且甲恰好投球命中0次”為事件C1，“乙恰好投球命中2次且甲恰好投球命中1次”為事件C2，則C=C1+C2，C1，C2為互斥事件.

，                                             8分

?                                           11分

P(C)=P(C1)+P(C2)=.                                                        13分

17.(本小題滿分13分)

解法一：


   

    
    

    
連結(jié)BD.
∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，
∴B1B⊥平面ABCD，
∴BD是B1D在平面ABCD上的射影，
∵AC⊥BD，
根據(jù)三垂線定理得，AC⊥B1D.              5分
(Ⅱ)解：
設AC∩BD=F，連結(jié)EF.
∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
根據(jù)三垂線定理得AC⊥FE，    又AC⊥FB，
∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角.                                      
－9分
在Rt△EDF中，由DE=DF=，得∠EFD=45°.                             
  12分
∴∠EFB=180°－45°=135°，
即二面角E－AC－B的大小是135°.                                   
        13分
解法二：
∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，



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      如圖，以D為原點，直線DA，DC，DD1分別為x軸，
      y軸，z軸，建立空間直角坐標系.             1分
      D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
      B1(1,1，).                               3分
      (Ⅰ)證明：
      ∵=（－1，1，0）， 
，
      ∴=0，
      ∴AC⊥B1D.                                      
                     6分
      (Ⅱ)解：
      連結(jié)BD，設AC∩BD=F，連結(jié)EF.
      ∵DE⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
      ∴AC⊥FE，AC⊥FB，
      ∴∠EFB是二面角E－AC－B的平面角.                                        
9分
      ∵底面ABCD是正方形     ∴F,
      ∴，                                      12分
      ∴二面角E-AC-B的大小是135°                                      
       13分
      18.(本小題滿分14分)
      (Ⅰ)解：
      ∵a1=3，an=－an－1－2n+1(n≥2，且n∈N*)，
      ∴a2=－a1－4+1=－6，                  
2分   a3=－a2－6+1=1.              
4分
      (Ⅱ)證明：
      ∵
      ∴數(shù)列{an+n}是首項為a1+1=4，公比為－1的等比數(shù)列.                          7分
      ∴an+n=4?(－1)n－1, 即an=4?(－1)n－1－n，
      ∴{an}的通項公式為an=4?(－1)n－1－n(n∈N*).                                  
9分
      (Ⅲ)解：
      ∵{an}的通項公式an=4?(－1)n－1－n(n∈N*)，
      所以當n是奇數(shù)時，Sn=?12分
      當n是偶數(shù)時，Sn=?(n2+n).
      綜上，Sn=         
                           14分
      19.(本小題滿分14分)
      (Ⅰ)解：
      依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+，
      將其代入x2=2y，消去y整理得x2－2kx－1=0.                       
          2分
      設A,B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 
則x1x2=－1.        
              3分
      將拋物線的方程改寫為y=x2，求導得y′=x.
      所以過點A的切線l1的斜率是k1=x1，過點B的切線l2的斜率是k2=x2，
      因為k1k2=x1x2=－1，所以l1⊥l2.                 
                            6分
      (Ⅱ)解：
      直線l1的方程為y－y1=k1(x－x1)，即y－=x1(x－x1)，
      同理，直線l2的方程為y－=x2(x－x2)，
      聯(lián)立這兩個方程，消去y得=x2(x－x2)－x1(x－x1)，
      整理得(x1－x2)=0，注意到x1≠x2，所以x=.                  
10分
      此時)y=.                   
12分
      由(Ⅰ)知，x1+x2=2k,    所以x==k∈R，
      所以點M的軌跡方程是y=.                                             
14分
      20.(本小題滿分14分)
      (Ⅰ)解：
      f(x)的導數(shù)f′(x)=9x2－4.
      令f′(x)＞0，解得x＞，或x＜－；  令f′(x)＜0，解得－＜x＜.
      從而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,；單調(diào)遞減區(qū)間為.    
3分
      (Ⅱ)解:
      由f(x)≤0， 
得－a≥3x3－4x+1.                                 
              4分
      由(Ⅰ)得，函數(shù)y=3x3－4x+1在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
      從而當x=－時，函數(shù)y=3x3－4x+1取得最大值.          
                 6分
      因為對于任意x∈[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立，
      故－a≥，即a≤－，
      從而a的最大值是－.                                                    8分
      (Ⅲ)解：
      當x變化時，f(x)，f′(x)變化情況如下表：
      x
      f′(x)
      +
      0
      －
      0
      +
      f(x)
      ㄊ
      極大值a+
      ㄋ
      極小值a
      ㄊ
      ①由f(x)的單調(diào)性，當極大值a+＜0或極小值a＞0時，方程f(x)=0最多有一個實數(shù)根；
      ②當a=－時，解方程f(x)=0，得x=－，x=,即方程f(x)=0只有兩個相異的實數(shù)根；
      ③當a=時，解方程f(x)=0，得x=,x=－，即方程f(x)=0只有兩個相異的實數(shù)根.
      如果方程f(x)=0存在三個相異的實數(shù)根，則解得
      a∈.               
                                           12分
      事實上，當a∈時，
      ∵f(－2)=－15+a＜－15+＜0，且f(2)，17+a＞17－＞0，
      所以方程f(x)=0在內(nèi)各有一根.
      綜上，若方程f(x)=0存在三個相異的實數(shù)根，則a的取值范圍是.        
14分
       
      		
      
	
	
      
		
      


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