(III)求證: 江西省九校2009屆高三模擬訓(xùn)練題(二) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（2012•房山區(qū)二模）數(shù)列{an}中，a1=1，前n項(xiàng)的和是Sn，且Sn=2an-1，n∈N*．
（I）求出 a2，a3，a4；
（II）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（III）求證：SnSn+2＜
S
2
n+1
．

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已知拋物線的焦點(diǎn)F在y軸上，拋物線上一點(diǎn)A（a，4）到準(zhǔn)線的距離是5，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，過M，N兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為T．
（I）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求
FT
•
MN
的值；
（III）求證：|
FT
|是|
MF
|和|
NF
|的等比中項(xiàng)．

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設(shè)點(diǎn)P（x，y）（x≥0）為平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P到定點(diǎn)M（1，0）的距離比點(diǎn)P到直線x=-2的距離小1，過點(diǎn)M的直線l與點(diǎn)P的軌跡方程交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（III）求證：S△OAB=S△OAM•|BM|．

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設(shè)函數(shù)f(x)=
2x
x+1
，且a1=
1
2
，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）計(jì)算a2，a3的值；
（II）設(shè)a2=2，求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（III）求證：
1
2
≤an＜1．

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已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a，其中a∈N*，an+1=
an
3
，an為3的倍數(shù)
an+1，an不為3的倍數(shù)
，集合A={x|x=an，n=1，2，3，…}．
（I）若a=4，寫出集合A中的所有的元素；
（II）若a≤2014，且數(shù)列{an}中恰好存在連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，求a的所有可能取值構(gòu)成的集合；
（III）求證：1∈A．

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一、選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

C

D

C

C

A

D

B

D

C

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13、；   14、；   15、32；     16、2

三、解答題：（本大題共6小題，共74分，）

17、解：（I）

                

                 ……………………………………………………4分

    ………………………………………………………………6分

   （II）由余弦定理得

   

    ……………………………………………………………………9分

    而，

    函數(shù)

    當(dāng)………………………………………12分

18、解：由上表可求出10次記錄下的有記號(hào)的紅鯽魚與中國金魚數(shù)目的平均數(shù)均為20，故可認(rèn)為池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)目相同，設(shè)池塘中兩種魚的總數(shù)是，則有

，   即   ，        ------------4分

                    

所以，可估計(jì)水庫中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)量均為25000．    ------------6分

（Ⅱ）顯然，，                                 -----------9分

其分布列為

0

1

2

3

4

5

---------11分

數(shù)學(xué)期望．                                  -----------12分

                  
   
                  
    
    
                  
    
                  ∵DE⊥EB，∴四邊形CDEF是矩形，
                  ∵CD=1，∴EF=1。
                  ∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3。
                  ∴AE=BF=1。
                  ∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1。
                  連結(jié)CE，則CE=CB=
                  ∵EB=2，∴∠BCE=90°。
                  則BC⊥CE。                                                 …………3分
                  在圖2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，
                  ∴AE⊥平面BCDE。
                  ∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC。                                 …………4分
                  ∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC。                                …………5分
                     （II）∵AE⊥平面BCDE，CF平面BCDE。
                  ∴AE⊥CF。
                  ∴CF⊥平面ABE。
                  過C作CG⊥AB，連結(jié)FG，則∠CGF就是二面角C―AB―E的平面角�！�6分
                  又CF=1，AE=1，CE=BC=。
                  ∴AC=
                  在Rt△ACB中，AB=
                  又AC?BC=AB?CG，∴CG=     ∴FG=    
                  ∴二面角C―AB―E的正切值為                             …………8分
                     （III）用反證法。
                  假設(shè)EM∥平面ACD。                                          
                  ∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，
                  ∴EB∥平面ACD�！逧B∩EM=E，∴面AEB∥面ACD                  …………10分
                  而A∈平面AEB，A∈平面ACD，
                  與平面AEB//平面ACD矛盾。
                  ∵假設(shè)不成立。
                      ∴EM與平面ACD不平行。………………………………12分
                  20、（I）解：由得，
                   ，，
                  ∴，  

                  ∵為等比數(shù)列   ∴∴=                            
3分                                                 

                  （II）證明：因?yàn)榉匠?sub>的兩根為3、7，
                  由題意知， 即，∴
                  ∴等差數(shù)列的公差，∴
                  ∴                       
6分
                  要證，只要證明， 即
                  下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立
                  （i）當(dāng)，2，3時(shí)，不等式顯然成立，
                  （ii）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，不等式成立，即
                  當(dāng)+1時(shí)，
                  即，此時(shí)不等式也成立．
                  由（i）（ii）知，對(duì)任意，成立．
                  所以，對(duì)任意，．                             
9分
                  （III）證明：由（II）已證成立，兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)得，
                  ∴
                  ∴，  ∴ w.w.w.k.s.5 u.c.o.m             12分
                  21、解：（I）設(shè)橢圓方程為，        
1分
                  則由題意有，，                      
2分
                  因此，，                       
3分
                  所以橢圓的方程為。                         
4分
                  （II）∵　斜率存在，不妨設(shè)，求出．   5分
                  直線 方程為，直線 方程  …………6分
                  　　分別與橢圓方程聯(lián)立，可解出，   7分
                  ∴　．∴　為定值．       8分
                  （Ⅲ）設(shè)直線AB方程為，與聯(lián)立，消去得
                  ．                                 
9分
                  由 >0得-4＜ ＜4，且 ≠0，點(diǎn) 到 的距離為．………… 10分
                                
11分
                  　  
設(shè)△的面積為S．　∴　．
                  當(dāng)時(shí)，得．                      
12分
                  22、（I）解：當(dāng)
                  此時(shí)， 的極小值為，無極大值                        …………4分
                  （II）解：
                            
…………8分
                  （III）由（I）知：上為增函數(shù)，
                   
                   
                  		
                  
	
	
                  
		
                  


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