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在正三棱柱中，

求證：⑴；　　

（2）求二面角的正切值。

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(滿分12分)長方體中，，分別是、中點。
(1)求證：；                   
(2)求二面角的正切值。

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一：選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

D

B

B

B

B

D

B

D

C

C

A

 二、填空題：

13、0

14、

15、

16、①②

三、解答題：

17、（Ⅰ）∵

∴的最大值為，最小正周期是。…………………6分 

注：得出表達(dá)式的簡化形式得4分，最大值、周期各得1分。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

即成立的的取值集合是………10分

注：正確寫出正弦的單調(diào)增區(qū)間2分，答案正確2分。

18、解：（Ⅰ），      

 ，

隨機(jī)變量的分布列為

0

1

2

3

P

數(shù)學(xué)期望………………………………………8分

注：每個概率算對得1分，分布列2分，期望2分。

   (II)所求的概率…………12分

注：知道概率加法公式得2分，結(jié)果正確得2分。

19、(本題滿分12分)

證明：（1）在直三棱柱，

∵底面三邊長，，

∴ ，              --------------------------------1分

又直三棱柱中  ， 

且

∴       ---------------------------------3分

而

∴；                 ---------------------------------4分

（2）設(shè)與的交點為，連結(jié)，---------------------5分

∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，

∴ ，                    ----------------------------7分

∵ ，，

∴ .              ----------------------------8分

（3）過點C作CF⊥AB于F，連接C₁F         

由已知C_1C垂直平面ABC，則∠C₁FC為二面角的平面角 ----------9分

在Rt△ABC中，，,,則           ----------10分

又

∴                                   ----------11分

∴二面角的正切值為                              ---------- 12分

（另：可以建立空間直角坐標(biāo)系用向量方法完成，酌情給分，過程略）

20、解（1）

∵在增函數(shù)，（0，2）為減函數(shù)

      ………………………………………………2分

       （2）， …………………         4分

                            5分

       ……………………7分

   （3）

       ，

       ……………………………………………………………………12分

21、 解：(1)f(x)對任意

                             2分

        令

                                       4分

   （2）解：數(shù)列{an}是等差數(shù)列    f(x)對任意x∈R都有

        則令                        5分

       ∴{a­­n}是等差數(shù)列                                              8分

   （3）解：由（2）有                         9分

∴Tn≤Sn                  該題也可用數(shù)學(xué)歸納法做。              12分

22、解：(1)∵

∴線段NP是AM的垂直平分線，                                      2分

∴                                   3分

∵                                            

∴點N的軌跡是以點C、A為焦點的橢圓；                             4分

∴點N的軌跡E的方程是                                  5分

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，，∴=；         6分

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為,

,△,              7分

設(shè)G(x_1,y₁),H(x₂,y₂)

,,∵,∴   8分

,,                             9分

,,,                  10分

 ，

∵點在點、之間  ，   ∴<1                                   11分

∴的取值范圍是[）。