22．本小題主要考查數(shù)學歸納法及導數(shù)應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.

滿分12分.

(Ⅰ)解：對函數(shù)求導數(shù)：

于是

當在區(qū)間是減函數(shù)，

當在區(qū)間是增函數(shù).

所以時取得最小值，，

(Ⅱ)證法一：用數(shù)學歸納法證明.

(i)當n=1時，由(Ⅰ)知命題成立.

(ii)假定當時命題成立，即若正數(shù)，

則

當時，若正數(shù)

令

則為正數(shù)，且

由歸納假定知

　　 　�、�

同理，由可得

　　 ②

綜合①、②兩式

即當時命題也成立.

根據(jù)(i)、(ii)可知對一切正整數(shù)n命題成立.

證法二：

令函數(shù)

利用(Ⅰ)知，當

對任意

　　　　　　　　　　 .　 ①

下面用數(shù)學歸納法證明結論.

(i)當n=1時，由(I)知命題成立.

(ii)設當n=k時命題成立，即若正數(shù)

由①得到

　　　 由歸納法假設

　　　 即當時命題也成立.

　　　 所以對一切正整數(shù)n命題成立.

21．本小題主要考查直線方程、平面向量及橢圓的幾何性質等基本知訓，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題及推理的能力，滿分14分.

　 (I)解：設橢圓方程為

　　　 則直線AB的方程為

　　　 化簡得.

　　　 令

　　　 則

　　　 共線，得

(II)證明：由(I)知，所以橢圓可化為.

　　　 在橢圓上，

　　　 即　 �、�

　　　 由(I)知

又又，代入①得　

故為定值，定值為1.

20．本小題主要考查相互獨立事件和互斥事件有一個發(fā)生的概率的計算方法，考查運用概率

知識解決實際問題的能力. 滿分12分.

(Ⅰ)解：因為甲坑內的3粒種子都不發(fā)芽的概率為，所以甲坑不需要補

種的概率為　

3個坑都不需要補種的概率

恰有1個坑需要補種的概率為

恰有2個坑需要補種的概率為

3個坑都需要補種的概率為

補種費用的分布為

	0	10	20	30
P	0.670	0.287	0.041	0.002

的數(shù)學期望為

19． 本小題主要考查等比數(shù)列的基本知識，考查分析問題能力和推理能力，滿分12分.

解：(Ⅰ)因為是等比數(shù)列，

當

上式等價于不等式組：　　　 ①

或　 ②

解①式得q>1；解②，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得－1<q<1.

綜上，q的取值范圍是

(Ⅱ)由

于是

18．本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關知識及思維能力和空間想象能力.考查應用向量知識解決數(shù)學問題的能力.滿分12分.

　 方案一：

(Ⅰ)證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂線定理得：CD⊥PD.

因而，CD與面PAD內兩條相交直線AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

(Ⅱ)解：過點B作BE//CA，且BE=CA，

則∠PBE是AC與PB所成的角.

連結AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四邊形ACBE為正方形.　 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=，PB=，　 　　

(Ⅲ)解：作AN⊥CM，垂足為N，連結BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=，

.　　 ∴AB=2，

故所求的二面角的大小為

方法二：因為PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為

A(0，0，0)B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，.

(Ⅰ)證明：因

由題設知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

　 (Ⅱ)解：因

則，

.

故AC與PB所成的角的大小為

(Ⅲ)解：在MC上取一點N(x，y，z)，則存在使

要使

為所求二面角的平面角.

(本題也可通過求兩個平面的法向量所成角來確定二面角的平面角)

17．本小題主要考查三角函數(shù)性質及圖像的基本知識，考查推理和運算能力，滿分12分.

解：(Ⅰ)的圖像的對稱軸，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

由題意得

所以函數(shù)

(Ⅲ)證明：

所以曲線的切線斜率取值范圍為[－2，2]，而直線的斜率為，所以直線與函數(shù)的圖像不相切.

　(17)(本大題滿分12分)

設函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線．

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)求函數(shù)的單調增區(qū)間；

(Ⅲ)證明直線于函數(shù)的圖像不相切．

(18)(本大題滿分12分)

已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點．

(Ⅰ)證明：面PAD⊥面PCD；

(Ⅱ)求AC與PB所成的角；

(Ⅲ)求面AMC與面BMC所成二面角的大�。�

(19)(本大題滿分12分)

設等比數(shù)列的公比為，前n項和．

(Ⅰ)求的取值范圍；

(Ⅱ)設，記的前n項和為，試比較與的大小．

(20)(本大題滿分12分)

9粒種子分種在3個坑內，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為，若一個坑內至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種，若一個坑內的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種．假定每個坑至多補種一次，每補種1個坑需10元，用ξ表示補種費用，寫出ξ的分布列并求ξ的數(shù)學期望．(精確到)

(21)(本大題滿分14分)

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值．

(22)(本大題滿分12分)

(Ⅰ)設函數(shù)，求的最小值；

(Ⅱ)設正數(shù)滿足，證明：

(13)若正整數(shù)m滿足，則m = 　　155　 ．

[解析]∵，∴，即，

　　　　　　　 ∴，即 ，∴．

[點撥]把指數(shù)形式化成對數(shù)形式．

(14)的展開式中，常數(shù)項為　　 672　 ．(用數(shù)字作答)

[解析]的通項公式為，令得，，∴常數(shù)項為

[點撥]熟悉二項式定理的展開式的通項公式．

(15)的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數(shù)　　　 　　 ．

[解析](特例法)設為一個直角三角形，則O點斜邊的中點，H點為直角頂點，這時有，∴．(但當為正三角形時，m∈R)

[點撥]由特殊情況去檢驗一般情況．

(16)在正方體中，過對角線的一個平面交于E，交于F，則

①四邊形一定是平行四邊形

②四邊形有可能是正方形

③四邊形在底面ABCD內的投影一定是正方形

④四邊形有可能垂直于平面

以上結論正確的為　　　　　　 ．(寫出所有正確結論的編號)

[解析]①平面與相對側面相交，交線互相平行，

∴四邊形一定是平行四邊形；

②四邊形若是正方形，則，又，

∴平面，產生矛盾；

　　　　　　　 ③四邊形在底面ABCD內的投影是正方形；

　　　　　　　 ④當E、F分別是、的中點時，，又平面，

　　　　　　　 ∴四邊形有可能垂直于平面；

[點撥]邊觀察、邊推導．

(1)復數(shù)(　)

(A)　　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

[解析]∵，故選A．

[點撥]對于復數(shù)運算應先觀察其特點再計算，會簡化運算．

(2)設為全集，是的三個非空子集，且，則下面論斷正確的是(　)

(A)　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　 (D)

[解析]∵所表示的部分是圖中藍色

的部分，所表示的部分是圖中除去的部分，

∴，故選C．

[點撥]利用韋恩圖求解．

(3)一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為　　(　　　 )

(A)　　　　 (B)　　　 (C)　　　　 (D)

[解析]∵截面圓面積為，∴截面圓半徑，

　　　　　　　 ∴球的半徑為，

　　　　　　　 ∴球的表面積為，故選B．

[點撥]找相關的直角三角形．

(4)已知直線過點，當直線與圓有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是(　 )

(A)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　

(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)

將化為，

　　　　　　 ∴該圓的圓心為，半徑，

設直線的方程為，即，設直線到圓心的距離為，則

∵直線與圓有兩個交點，∴，

∴，∴．故選C．

[點撥]利用圓心到直線的距離解直線與圓的位置關系．

(5)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為(　 )

(A)　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　　　　　　 (D)

[解析]過A、B兩點分別作AM、BN垂直于EF，垂足分別為M、N，連結DM、CN，可證得DM⊥EF、CN⊥EF，多面體ABCDEF分為三部分，多面體的體積V為

，∵，，∴，作NH垂直于點H，則H為BC的中點，則，∴，∴，

，，∴，故選A．

[點撥]將不規(guī)則的多面體分割或補全為規(guī)則的幾何體進行計算．

(6)已知雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線的離心率為(　 )

(A)　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　 (D)

[解析]由得，∴，拋物線的準線為，因為雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，所以，解得，所以，所以離心率為，故選D．

[點撥]熟悉圓錐曲線各準線方程．

(7)當時，函數(shù)的最小值為(　　 )

(A)2　　　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　　　　 (C)4　　　　　　　　　　　　 (D)

[解析]

　 ，當且僅當，即時，取“”，∵，∴存在使，這時，故選．

[點撥]熟練運用三角函數(shù)公式進行化簡運算．

(8)設，二次函數(shù)的圖像為下列之一

則的值為(　)

(A)　　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　 (D)

[解析]∵，∴圖像不能以軸為對稱軸，∴一、二兩個圖不符；第四個圖可知，，故其對稱軸為，所以也不符合；只有第三個圖可以，由圖象過原點，得，開口向下，所以，故選B．

[點撥]熟悉二次函數(shù)圖象的特點，分析對稱軸、與軸的交點等形與數(shù)的關系．

(9)設，函數(shù)，則使的的取值范圍是( 　)

(A)　　　 (B)　　 (C)　　　 (D)

[解析]∵，，∴，解得　 或(舍去)，

　　　　　　　 ∴，故選C．

[點撥]熟悉對數(shù)的性質．

(10)在坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為(　)

(A)　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　　 (D)2

[解析]原不等式化為或，

所表示的平面區(qū)域如右圖所示，，， ∴，故選B．

[點撥]分類討論，通過畫出區(qū)域，計算面積．

(11)在中，已知，給出以下四個論斷：

①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

③　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

其中正確的是(　　 　)

(A)①③　　　　　　 (B)②④　　　　　　 (C)①④　　　　　　　　　 (D)②③

[解析]∵，，

∴，∴，

∵，∴①不一定成立，

∵，∴，∴②成立，

∵，∴③不一定成立，

∵，∴④成立，故選B．

[點撥]考查三角公式的靈活運用．

(12)過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有(　　　 )

(A)18對　　　　　 (B)24對　　　　　 (C)30對　　　　　 (D)36對

[解析]解法一：(直接法)

①與上底面的、、成異面直線的有15對；

②與下底面的、、成異面直線的有9對(除去與上底面的)；

③與側棱、、成異面直線的有6對(除去與上下底面的)；

④側面對角線之間成異面直線的有6對；

所以異面直線總共有36對．

解法二：(間接法)

①共一頂點的共面直線有對；

②側面互相平行的直線有6對；

③側面的對角線有3對共面；

所以異面直線總共有對．

[點撥]解排列組合題的關鍵是分好類．

第Ⅱ卷