1.★設(shè)ξ是離散型隨機(jī)變量,則下列不能夠成為ξ的概率分布的一組數(shù)是(  )

A.0,0,0,1,0

B.0.1,0.2,0.3,0.4

C.p,1-p(其中p是實(shí)數(shù))

D. (其中n是正整數(shù))

分析 題主要考查任一離散型隨機(jī)變量的分布列所具有的兩個(gè)性質(zhì)：

(1)P_i≥0,i=1,2,3,…;

(2)P₁+P₂+…=1.

解 對(duì)于A,由于0+0+0+1+0=1,且每個(gè)數(shù)都大于或等于0,所以這組數(shù)可以作為ξ的一種概率分布；

對(duì)于B,由于0.1+0.2+0.3+0.4=1,且每個(gè)數(shù)都大于0,所以這組數(shù)可以作為ξ的一種概率分布；

對(duì)于C,雖然p+1-p=1,但是不能保證對(duì)任意實(shí)數(shù)p和1-p都是非負(fù)數(shù)(比如取p=-1),所以這組數(shù)不能夠作為ξ的概率分布；

對(duì)于D,由于

且每個(gè)數(shù)都是非負(fù)數(shù),所以這組數(shù)也可作為ξ的一種概率分布.

答案 C

2.一個(gè)容量為n的樣本，分成若干組，已知某數(shù)的頻數(shù)和頻率分別為40，0.125，則n的值為（   ）

A.640              B.320                C.240                  D.160

分析 本題考查隨機(jī)抽樣的概率，即從個(gè)體為N的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，每一個(gè)體被抽到的概率都是

解 由題意，得=0.125.∴n=320.

答案 B

3.某牧場(chǎng)的10頭牛因誤食瘋牛病毒污染的飼料被感染,已知瘋牛病發(fā)病的概率為0.02.若發(fā)病的牛數(shù)為ξ,則Dξ等于(   )

A.0.2               B.0.196               C.0.8                 D.0.812

分析 本題考查隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布的方差,即Dξ=npq(其中q=1-p).

解 由題意可知,發(fā)病的牛數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布,

即Dξ=npq=10×0.02×(1-0.02)=0.196.

答案 B

4.★利用隨機(jī)抽樣從含有12個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為4的樣本，設(shè)個(gè)體a被抽到的概率為P₁,個(gè)體a沒有在第二次被抽到的概率為P₂,則P₁與P₂的大小關(guān)系是（   ）

A.P₁＞P₂           B.P₁=P₂              C.P₁＜P₂              D.不確定

解析 由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義可知，個(gè)體a被抽到的概率是P₁==.

由等可能性事件的概率可知，個(gè)體a第二次未被抽到的概率是

P₂=.

∴P₁＞P₂.

答案 A

5.某處有供水龍頭5個(gè),調(diào)查表明每個(gè)水龍頭被打開的可能性為,隨機(jī)變量ξ表示同時(shí)被打開的水龍頭的個(gè)數(shù),則P(ξ=3)為(     )

A.0.008 1           B.0.072 9              C.0.052 5              D.0.009 2

分析 本題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,恰好發(fā)生k次的概率.

解 對(duì)5個(gè)水龍頭的處理可視為做5次試驗(yàn),每次試驗(yàn)有2種可能結(jié)果：打開或未打開,相應(yīng)的概率為0.1或1-0.1=0.9.

根據(jù)題意ξ~B(5,0.1),從而P(ξ=3)=(0.1)³(0.9)²=0.008 1.

答案 A

6.★某人從湖中打了一網(wǎng)魚,共m條,做上記號(hào),再放入湖中,數(shù)日后又打了一網(wǎng)魚,共n條,其中k條有記號(hào),估計(jì)湖中有魚         條.(     )

A.               B.m?               C.m?              D.無法估計(jì)

分析 本題考查用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布.

解 設(shè)估計(jì)湖中有x條魚.

由題意可知=,所以x=,

即估計(jì)湖中有條魚.

ξ

0

1

2

3

P

a

b

答案 B

 7.已知某離散型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=,ξ的分布列如下:

則a的值為 (    )

A.0              B.             C.                D.

解析 由題意可知

解得a=.

答案 C

8.統(tǒng)計(jì)某校400名學(xué)生的數(shù)學(xué)會(huì)考成績(jī),得到樣本頻率分布直方圖如右圖,規(guī)定不低于60分為及格,不低于80分為優(yōu)秀,則及格率和優(yōu)秀生人數(shù)分別是(    )

A.20%,380                  B.80%,380

C.30%,270                  D.80%,80

解析 及格率為(0.025+0.035+0.01+0.01)×10=0.8=80%;

優(yōu)秀生人數(shù)為400(0.01+0.01)×10=80.

答案 D

9.袋中裝有5只同樣大小的白球,編號(hào)為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3只球,被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)為ξ,則Eξ等于(   )

A.4             B.5             C.4.5             D.4.75

分析 本題考查離散型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望.解題關(guān)鍵是找到ξ_i與P_i的對(duì)應(yīng)值.

解 由題意,知ξ取3,4,5.它取每一個(gè)值的概率都符合等可能事件的概率公式,即

P(ξ=3)==,

P(ξ=4)==,

P(ξ=5)==,

∴Eξ=3×+4×+5×=4.5.

答案 C

10.從2 004名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán),若采用下面的方法選取:先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2 004人中剔除4人,剩下的2 000人再按系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行,則每人入選的概率 (   )

A.不全相等                             B.均不相等

C.都相等,且為                      D.都相等,且為

分析 本題考查抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率問題.

解 從2 004名學(xué)生總體中剔除4個(gè)個(gè)體,每名學(xué)生不被剔除的概率是,對(duì)于留在總體中的2 000個(gè)個(gè)體,按系統(tǒng)抽樣時(shí),每個(gè)個(gè)體被抽取的概率是,由概率乘法公式可知每個(gè)個(gè)體被抽取的概率p=×==.

答案 C

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.★已知盒中有3只螺口與7只卡口燈泡,這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著,現(xiàn)需用一只卡口燈泡,電工師傅每次從中任取一只并不放回,則他直到第3次才取得卡口燈泡的概率為             .

分析 本題考查無放回地抽取個(gè)體時(shí),每個(gè)個(gè)體被抽取的概率問題.搞清使用的概率模型是解題的關(guān)鍵.

解 設(shè)無放回地直到第3次取出卡口燈泡記為事件A,則P(A)=××=.

答案

12.一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體,隨機(jī)編號(hào)為0,1,2,…,99,依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組,組號(hào)依次為1,2,…,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本,規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m,那么在k組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m+k的個(gè)位數(shù)字相同.若m=6,則在第7組中抽取的號(hào)碼是             .

分析 本小題主要考查系統(tǒng)抽樣的概念與方法.

解 由題設(shè)知,若m=6,則在第7組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與13的個(gè)位數(shù)字相同,而第7組中數(shù)字編號(hào)順次為60,61,62,63,…,69,故在第7組中抽取的號(hào)碼是63.

答案 63

13.某街頭小攤,在不下雨的日子可賺到100元,在下雨天則要損失10元.若該地區(qū)每年下雨的日子約為130天,則此小攤每天獲利的期望值是                (每年按365天計(jì)算).

分析 本題考查離散型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

解 由題意可知變量ξ的取值分別為-10,100.

∵ξ=-10的概率P(ξ=-10)=,

ξ=100的概率P(ξ=100)=,

∴Eξ=-10×+100×≈60.82.

答案 60.82

14.200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如下圖所示，則時(shí)速在［50，60）的汽車大約有          輛.

解析 由公式頻率=可知，時(shí)速在［50,60)的汽車的輛數(shù)，即它的頻數(shù)為200×0.3=60.

答案 60

15．(本小題滿分8分)100件產(chǎn)品中有3件不合格品,每次取一件,有放回地抽取三次,求取得不合格品件數(shù)x的分布列.

解 x可能取的值為0,1,2,3.由于是有放回地每次取一件,連續(xù)取三次,所以這相當(dāng)于做3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),一次抽取到不合格品的概率p=0.03.           2分

因此P(x=0)=?0.03⁰?(1-0.03)³=0.912 673,

P(x=1)=?0.03¹?(1-0.03)2=0.084 681,

P(x=2)=?0.03²?(1-0.03)¹=0.002 619,

P(x=3)=?0.03³?(1-0.03)⁰=0.000 027.          6分

分布列為

x

0

1

2

3

P

0.912 673

0.084 681

0.002 619

0.000 027

8分

16.(本小題滿分8分)有同一型號(hào)的汽車100輛.為了了解這種汽車每耗油1 L所行路程的情況,現(xiàn)從中隨機(jī)抽出10輛在同一條件下進(jìn)行耗油1 L所行路程試驗(yàn),得到如下樣本數(shù)據(jù)(單位:km):13.7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4.

(1)根據(jù)所給分組情況,完成頻率分布表;

分組

頻數(shù)

頻率

［12.45,12.95）

［12.95,13.45）

［13.45,13.95）

［13.95,14.45）

合計(jì)

10

1.0

(2)根據(jù)上表,在給定坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖,并根據(jù)樣本估計(jì)總體數(shù)據(jù)落在區(qū)間［12.95,13.95）的概率為             ;

(3)根據(jù)樣本,對(duì)總體進(jìn)行估計(jì).

解(1)頻率分布表:

分組

頻數(shù)

頻率

［12.45,12.95）

2

0.2

［12.95,13.45）

3

0.3

［13.45,13.95）

4

0.4

［13.95,14.45）

1

0.1

合計(jì)

10

1.0

3分

(2)頻率分布直方圖:

估計(jì)總體數(shù)據(jù)落在區(qū)間［12.95,13.95）的概率為0.7.          6分

(3)

因此,對(duì)總體的期望值進(jìn)行估計(jì)約為13.4.               8分

17.★(本小題滿分8分)某企業(yè)招聘250人,按成績(jī)從高分到低分依次錄取.結(jié)果有1 000人參加了考試.小王也參加了考試,他聽說90分以上就有36人,60分以下有115人,他考了76分,判斷小王能否被錄取.

分析 不妨假設(shè)考試成績(jī)成正態(tài)分布.利用正態(tài)分布性質(zhì)建立正態(tài)分布模型解題.

解 按此次考試成績(jī)?chǔ)畏�從正態(tài)分布來考慮,

即90分以上的人數(shù)比為=0.036.

F(90)=1-0.036=0.964,F(60)==0.115.      2分

∴Φ()=0.964且Φ()=1-Φ()=0.115.

查表得.解得           6分

方法一:設(shè)錄取最低分為t,則F(t)=Φ()=0.75.

查表得=0.67,t=78.7(分),

故最低分為79分.

方法二:小王得分為76分,則Φ()=0.655.

小王的名次是1 000×(1-0.655)=345(名).

故小王不能被錄取.       8分

18.★(本小題滿分10分)在一次抗洪搶險(xiǎn)中,準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐.已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨(dú)立的,且命中的概率都是.

(1)求汽油罐被引爆的概率;

(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為ξ,求ξ的分布列及Eξ(要求:結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

分析 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望以及利用概率知識(shí)解決問題的能力.

解 (1)命中的概率是,則未命中的概率是.汽油罐未引爆,即是5發(fā)子彈只命中1次或5次均未命中,則所求概率為

P=1-??()⁴-()⁵=.      4分

(2)P(ξ=2)=()²=;

P(ξ=3)=? ()²=;

P(ξ=4)=()²()²=;

P(ξ=5)=()³()²=.         7分

則ξ的分布列為

ξ

2

3

4

5

P

8分

Eξ=2×+3×+4×+5×=.           10分

19.★(本小題滿分10分)若公共汽車門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在1%以下設(shè)計(jì)的,如果某地成年男子的身高ξ~N(175,62)(單位：cm),則該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？(下列數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)使用:Φ(2.33)≈0.99,Φ(2.06)≈0.98)

分析 本題考查正態(tài)分布在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.它是一道已知正態(tài)分布函數(shù)的值域,而求其自變量范圍的題目.解題的關(guān)鍵是找出正確的函數(shù)表達(dá)式,運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,求變量的范圍.

解 設(shè)該地公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為x cm,

則根據(jù)題意可知P(ξ≥x)＜1%.        3分

∵ξ~N(175,6²),∴P(ξ≥x)=1-P(ξ＜x)=1-Φ()＜0.01.     6分

化簡(jiǎn),得Φ()＞0.99,

查表可知＞2.33,解得x＞188.98,              9分

即該地公共汽車門至少應(yīng)設(shè)計(jì)為189 cm高.            10分