題目列表(包括答案和解析)
某班主任對全班50名學(xué)生進行遲到與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：
|
已知函數(shù)
。
（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；
（2）求函數(shù)的增區(qū)間；
（3）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)
的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
【解析】本試題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的運用。第一問中，利用可知函數(shù)的周期為
，最大值為
。
第二問中，函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間相同。故當(dāng)
，解得x的范圍即為所求的區(qū)間。
第三問中，利用圖像將的圖象先向右平移
個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的
（縱坐標(biāo)不變），然后把縱坐標(biāo)伸長為原來的
倍（橫坐標(biāo)不變），再向上平移1個單位即可。
解：（1）函數(shù)
的最小正周期為，最大值為。
（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間相同。
即
所求的增區(qū)間為
，
即
所求的減區(qū)間為
，
。
（3）將的圖象先向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的 （縱坐標(biāo)不變），然后把縱坐標(biāo)伸長為原來的倍（橫坐標(biāo)不變），再向上平移1個單位即可。
| 學(xué)習(xí)成績前26名 | 學(xué)習(xí)成績后24名 | 總數(shù) | |
| 從不遲到的 | 18 | 9 | 27 |
| 有過遲到的 | 8 | 15 | 23 |
| 總數(shù) | 26 | 24 | 50 |
| 50×(18×15-8×9)2 |
| 27×23×24×26 |
| P（K2≥k） | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
| A．97.5% | B．95% | C．90% | D．無充分根據(jù) |
已知遞增等差數(shù)列
滿足：
，且
成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式
；
（2）若不等式
對任意
恒成立，試猜想出實數(shù)
的最小值，并證明．
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為
，
由題意可知
，即
，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于
，利用當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
；而
，所以猜想，的最小值為
然后加以證明即可。
解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等價于，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
而，所以猜想，的最小值為． …………8分
下證不等式
對任意恒成立．
方法一：數(shù)學(xué)歸納法．
當(dāng)時，
，成立．
假設(shè)當(dāng)
時，不等式
成立，
當(dāng)
時，
，
…………10分
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分
方法二：單調(diào)性證明．
要證
只要證 
，
設(shè)數(shù)列
的通項公式
， …………10分
， …………12分
所以對
，都有
，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值為．
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