⑾、用長度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細木棒圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為

A．      B．          C．          D．

⑿、設(shè)集合。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有

A．        B．              C．             D．

2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學

第Ⅱ卷

注意事項：

1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并貼好條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2頁，請用黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效。

3．本卷共10小題，共90分。

⒀、已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_______________。

⒁、設(shè)，式中變量滿足下列條件

則z的最大值為_____________。

⒂、安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________種。（用數(shù)字作答）

⒃、設(shè)函數(shù)。若是奇函數(shù)，則__________。

⒄、（本小題滿分12分）

的三個內(nèi)角為，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。

⒅、（本小題滿分12分）

A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。

（Ⅰ）求一個試驗組為甲類組的概率；

（Ⅱ）觀察3個試驗組，用表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望。

⒆、（本小題滿分12分）

如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點A、B在上，C在上，。

（Ⅰ）證明⊥；

（Ⅱ）若，求與平面ABC所成角的余弦值。

⒇、（本小題滿分12分）

在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：

（Ⅰ）點M的軌跡方程；

（Ⅱ）的最小值。

（21）、（本小題滿分14分）

已知函數(shù)。

（Ⅰ）設(shè)，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若對任意恒有，求的取值范圍。

（22）、（本小題滿分12分）

設(shè)數(shù)列的前項的和

，

（Ⅰ）求首項與通項；

（Ⅱ）設(shè)，，證明：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

C

B

C

A

D

B

B

B

1．解：=，=，

∴ ，選B.

2．解：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以是的反函數(shù)，即=，∴ ，選D.

3．雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，∴ m<0，且雙曲線方程為，∴ m=，選A.

4．復數(shù)=(m²－m)+(1+m³)i是實數(shù)，∴ 1+m³=0，m=－1，選B.

5．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間滿足，

  ∴ 單調(diào)增區(qū)間為，選C.

6．中，a、b、c成等比數(shù)列，且，則b=a，

=，選B.

7．正四棱柱高為4，體積為16，底面積為4，正方形邊長為2，正四棱柱的對角線長即球的直徑為2，∴ 球的半徑為，球的表面積是，選C.

8．設(shè)拋物線上一點為(m，－m²)，該點到直線的距離為，當m=時，取得最小值為，選A.

9．向量、、的和。向量、、順時針旋轉(zhuǎn)后與、、同向，且，∴ ，選D.

10．是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則，，∴ d=3，，，選B.

11．用2、5連接，3、4連接各為一邊，第三邊長為7組成三角形，此三角形面積最大，面積為，選B.

12．若集合A、B中分別有一個元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有三個元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有一個元素，集合B中有四個元素，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有兩個元素，集合B中有一個元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有兩個元素，集合B中有兩個個元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有兩個元素，集合B中有三個元素，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有三個元素，集合B中有一個元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有三個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有四個元素，集合B中有一個元素，則選法種數(shù)有=1種；總計有，選B.

解法二：集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集，

從5個元素中選出2個元素，有=10種選法，小的給A集合，大的給B集合；

從5個元素中選出3個元素，有=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有2×10=20種方法；

從5個元素中選出4個元素，有=5種選法，再分成1、3；2、2；3、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有3×5=15種方法；

從5個元素中選出5個元素，有=1種選法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4×1=4種方法；

總計為10+20+15+4=49種方法。選B.

13.     14. 11   15. 2400     16. 

13．正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，底面邊長為2，底面積為12，所以正四棱錐的高為3，則側(cè)面與底面所成的二面角的正切tanα=, ∴ 二面角等于。

14．，在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中滿足的最大值是點C，代入得最大值等于11.

15．先安排甲、乙兩人在后5天值班，有=20種排法，其余5人再進行排列，有=120種排法，所以共有20×120=2400種安排方法。

16．，

則=，為奇函數(shù)，∴ φ=.

17.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .

cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin² + 2sin

=－2(sin － )²+

當sin = , 即A=時, cosA+2cos取得最大值為

18.解: (1)設(shè)A_i表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依題意有: P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = . P(B₀)= × = ,

P(B₁)=2× × = , 所求概率為: P=P(B₀?A₁)+P(B₀?A₂)+P(B₁?A₂)

= × + × + × =

(Ⅱ)ξ的可能值為0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()³= , P(ξ=1)=C₃¹××()²=

, P(ξ=2)=C₃²×()²× =   , P(ξ=3)=( )³=

ξ

0

1

2

3

P

ξ的分布列為:

數(shù)學期望: Eξ=3× = .

19.解法一: (Ⅰ)由已知l₂⊥MN, l₂⊥l₁ , MN∩l₁ =M, 可得l₂⊥平面ABN.由已知MN⊥l₁ , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影.

∴AC⊥NB

（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心,連結(jié)BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

解法二: 如圖,建立空間直角坐標系M－xyz.令MN=1, 則有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)∵MN是 l₁、l₂的公垂線, l₁⊥l₂, ∴l(xiāng)₂⊥平面ABN. l₂平行于z軸. 故可設(shè)C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴?=1+(－1)+0=0  ∴AC⊥NB.

(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).

連結(jié)MC,作NH⊥MC于H,設(shè)H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ),

=(0,1, ). ? = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 連結(jié)BH,則=(－1,, ),

∵?=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),

∴cos∠NBH= =  =

20.解: 橢圓方程可寫為: + =1   式中a>b>0 , 且  得a²=4,b²=1,所以曲線C的方程為:  x²+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '=－

設(shè)P(x₀,y₀),因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2, y '|_x=x0= － ,得切線AB的方程為:

y=－ (x－x₀)+y₀ . 設(shè)A(x,0)和B(0,y),由切線方程得 x= , y= .

由= +得M的坐標為(x,y), 由x₀,y₀滿足C的方程,得點M的軌跡方程為:

+ =1 (x>1,y>2)  

(Ⅱ)| |²= x²+y²,  y²= =4+ ,

∴| |²= x²－1++5≥4+5=9.且當x²－1= ,即x=>1時,上式取等號.

故||的最小值為3.

21.解(Ⅰ)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導數(shù)得 f '(x)= e^－ax.  

(?)當a=2時, f '(x)= e^－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數(shù).

(?)當0<a<2時, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數(shù).

(?)當a>2時, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x₁= － , x₂= .

當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

x

(－∞, －)

(－,)

(,1)

(1,+∞)

f '(x)

＋

－

＋

＋

f(x)

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄊ

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)為增函數(shù), f(x)在(－,)為減函數(shù).

(Ⅱ)(?)當0<a≤2時, 由(Ⅰ)知: 對任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.

(?)當a>2時, 取x₀= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1

(?)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－ax≥1,得

f(x)= e^－ax≥ >1. 綜上當且僅當a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.

22.解: (Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，… , ①  得 a₁=S₁= a₁－×4+ 所以a₁=2.

再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,…

將①和②相減得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),n=2,3, …

整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n=2,3, … , 因而數(shù)列{ a_n+2ⁿ}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即 : a_n+2ⁿ=4×4^n－1= 4ⁿ, n=1,2,3, …, 因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)將a_n=4ⁿ－2ⁿ代入①得 S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ + = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2)

   = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)   

 T_n= = × = ×( － )

所以, = － )  = ×( － ) <