揭陽市云路中學2009屆高三數(shù)學（理科）第三次測試試題

（不等式、極坐標）2008.09.20

班級：              姓名：               座號：            評分：             

第一部分 選擇題（共40分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

1、不等式的解集為(       )

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（Ａ）　　　　（Ｂ）　　�。ǎ茫�　　　（Ｄ）

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2   若，則函數(shù)有（    ）

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A  最小值         B  最大值      C  最大值        D  最小值

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3  若，則函數(shù)的最小值為（     ）

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  A     B        C     D  非上述情況

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4. 設奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（    ）

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A．        B．   C．  D．

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5. 若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當從－2連續(xù)變化到1時，動直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積為 （       ）

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  A                 B                C  2       D

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6. 設不等的兩個正數(shù)滿足，則的取值范圍是（     ）

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  A       B      C        D   

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7. 若，且, ，則與的大小關系是

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  A    B    C    D 

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8. 已知，則使得都成立的取值范圍是（    ）

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A.（0，）                 B. （0，）             C. （0，）                D. （0，）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第二部分 非選擇題（共110分）

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二、填空題（本大題共6小題，共30分，把答案填寫在答題卡相應位置上）

9. 點M的極坐標為（－2，－），則直角坐標是                  。

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10. 直線的極坐標方程為____________________。

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11.已知曲線的極坐標方程分別為，，則曲線與交點的極坐標為          ．

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12. 若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則b的取值范圍為____________.

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13.不等式的解集為                ．

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14. 已知函數(shù)，則不等式的解集是           

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三、解答題（有6大道題，共80分，要求寫出推理和運算的過程）

15. （14分）如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的

左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm2

,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確

定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最��？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16. （12分）設a，b，c為正實數(shù)，求證：．

 

 

 

 

 

 

 

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17.（14分）已知函數(shù)。

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（1）作出函數(shù)的圖像；

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（2）解不等式。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18.（12分）求函數(shù)的最大值

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19. （14分）設

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（1）證明A>;  

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（2）

 

 

 

 

 

 

 

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20．（14分）A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù) 組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數(shù)，使得對任意的，都有

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（1）設，證明：;

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（2）設,如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;

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（3）設,任取,令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式.

 

 

 

 

 

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

B

D

A

B

A

B

1. A∵  ∴ 即， ，

∴  故選A；

2  C   

3  B  

4. D．由奇函數(shù)可知，而，則，當時，；當時，，又在上為增函數(shù)，則奇函數(shù)在上為增函數(shù)，.

5  A  如圖知是斜邊為3 的等腰直角三角形，是直角邊為1等腰直角三角形，區(qū)域的面積

6. B    ，而

        所以，得

7. A  

      ，即

8. B  ，所以解集為，

又，因此選B。

二、填空題

9. （－，1）.   10. .   11.    12.    13. .

14. .

9. ，，

∴點M的直角坐標為（－，1）。

10.

11.    聯(lián)立解方程組解得，

即兩曲線的交點為

12. . ∴，

13. .

14. .依題意得

所以，

三、解答題

15解：解法1：設矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000.      ①

廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.

廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)

＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b

≥18500+2=18500+

當且僅當25a＝40b時等號成立，此時b=,代入①式得a=120，從而b=75.

即當a=120，b=75時,S取得最小值24500.

故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.

解法2：設廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x－20，其中x＞20，y＞25

兩欄面積之和為2(x－20),由此得y=

廣告的面積S=xy=x()＝x,

整理得S=

因為x－20＞0，所以S≥2

當且僅當時等號成立，

此時有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，

即當x=140，y＝175時，S取得最小值24500，

故當廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.

16. 證明：因為為正實數(shù)，由平均不等式可得

      即  

      所以，

      而

      所以

17. 解：（Ⅰ）

圖像如下：

（Ⅱ）不等式，即，

由得．

由函數(shù)圖像可知，原不等式的解集為

18.解：函數(shù)的定義域為，且

 

19. （1）A

=

（2）

         

．

          ∴

20．解：對任意,,,,所以,對任意的，

，

，所以

0<

,令=，，

,所以．

反證法:設存在兩個使得,則

由，得，所以，矛盾，故結論成立。

，所以

+…

．


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