鄞州高級中學(xué)      高二（數(shù)學(xué)）期中試卷（理）

命題人：  葉琪飛            審題人：    王蓉

一：選擇題。（本大題共10小題，每小題5分,共50分，每小題都只有一個(gè)正確答案）

1若，

則                                   （    ）

A、           B、9             C、                  D、

2：不等式的

解集是                                                      （    ）A、       B、      C、      D、

3： 已知?jiǎng)t的大小關(guān)系是                  （    ）                  

                                  

  A、               B、                C、                   D、 

4：函數(shù)的最大值為                                              （    ）                                                             

A、6     B、5           C、3        D、 4

5：若不等式恒成立，則的取值范圍為                             （    ）                                                    

A、              B、                 C、                   D、 

6：下列結(jié)論中正確的是                                                              （    ）

⑴若則;   ⑵若則則;

⑶                 ⑷若為的三邊，則（其中且）

A、  0個(gè)               B、  1個(gè)                  C、  2個(gè)                 D、  3個(gè) 

7：不等式組的解集是                                                   （    ）

A、          B、          C、        D、 

8：設(shè)且若則必有                     （    ）                                                                        

A、           B、            C、               D、

9：若且則的最小值是                                     （    ）                                                   

A、 4                     B、3                  C、2                        D、 5

10：關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式與的解集分別為與，若使求實(shí)數(shù)的取值范圍                                                   （    ）

  A、     B、       C、     D、

二：填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）

11：為虛數(shù)單位，        ▲         。

12：關(guān)于的不等式的解集為          ▲          。

13：函數(shù)的最小值為          ▲           。

14：設(shè)則       ▲         。

15：設(shè)不等式對滿足的實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是    ▲           。

16：若函數(shù)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，作軸，垂足為則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的周長的最小值為          ▲           。

17：三個(gè)同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路。

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”；

乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”；

丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”。

參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確的結(jié)論，即的取值范圍是      ▲           。

 

 

鄞州高級中學(xué)       高二（數(shù)學(xué)）期中考試答案（理）

 

二、  填空題（每小題4分，共28分）

11、。    12、。  13、。  14、。

 

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15、。    16、。  17、。

 

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三、解答題（6個(gè)小題，共72分）

18、（本題共10分）求解關(guān)于的不等式

解：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于即

（2）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于即

（3）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于即

綜上所述，原不等式的解集為

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19、（本題共10分）已知實(shí)數(shù)滿足設(shè)

（1）求的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍。

解：（1）由柯西西不等式得

所以當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取等號，

因此的最小值為

（2）由題意得：所以

所以解得：

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20、（本題共10分）經(jīng)過長期觀察知：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段的汽車流量(千輛/時(shí))與汽車的平均速度（千米/時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為問在這時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)，車流量最大？并求最大的車流量（精確到0.1千輛/時(shí)）

解：由于，，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立。

所以車流量車流量的最大值為 (千輛/時(shí))

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21、（本題共14分）函數(shù)過曲線上的點(diǎn)的切線方程為

（1）若在時(shí)有極值，求的表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，求在上的最大值；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求取值范圍。

解：（1）由得據(jù)題意得：

 

即解得；

（2）由（1）得當(dāng)變換時(shí)，與的變換情況如下表：

x

+

0

0

+

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

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所以在上的最大值的極大值為13.

（3）在區(qū)間上單調(diào)遞增，又由（1）知，依題意在上恒有即在恒成立。

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

綜合上述討論可知，所求參數(shù)的取值范圍是

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22、（本題共12分）求證： 

解法一：，

=

 

解法二：用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明（略）

 

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23、（本題共16分） 對于函數(shù)，若存在，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)，

已知函數(shù) 

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）對于任意實(shí)數(shù)函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。

（3）在（2）的條件下，若函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)， 且

兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求的最小值。

解：（1）由得兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；

（2）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程

即有兩個(gè)相異的實(shí)根。

恒成立。解得

（3）設(shè)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則中點(diǎn)橫坐標(biāo)為從而縱坐標(biāo)為又中點(diǎn)在直線上，所以得當(dāng)且僅當(dāng)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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