1、設(shè)集合，則 (  )

Ａ.　　　　　    Ｂ.　　    　 Ｃ.　　　　　   Ｄ.

2、若為銳角，且，則（　　）．

A．         　　       B．           　　     C．             　　   D．１

3、若等差數(shù)列滿足，，則的值是（    ）

A．20                 B．36                     C．24                 D．72

4、已知是的高的交點(diǎn)， 則有（ 　）．

A．         B．   

C．         D．

5、三鹿奶粉添加三聚氰胺的問題引起了全社會的關(guān)注。某市質(zhì)量監(jiān)督局為了保證人民的飲食安全要對超市中奶粉的質(zhì)量進(jìn)行專項(xiàng)抽查，已知該地區(qū)超市中賣的各種類型的奶粉的分布情況如下：老年人專用奶粉300種，普通奶粉240種，嬰幼兒奶粉360種，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取150種進(jìn)行檢驗(yàn)，則這三種型號的奶粉依次應(yīng)抽�。�  ）

A. 18種，12種，24種                    B. 7種，30種，10種

C. 50種，40種，60種                    D. 8種，21種，18種

6、設(shè)正數(shù)，則“”是“”的（   ）

A．充分而不必要條件              B．必要而不充分條件

C．充分必要條件                   D．既不充分也不必要條件

7、奇函數(shù)在上的解析式為，則不等式的解集為（    ）

A．   B．  C．     D．

8、若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則滿足要求的最小偶數(shù)是（    ）

A．2                 B．6              C．8              D．10

9、為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象按照向量平移，則可以為（　　）．

A． 　　　B．     　　　C．     　　　　D．

10、一動圓的圓心在拋物線上，且動圓恒與直線相切，則此動圓必過定點(diǎn)（　�。�

A．　　　 　B．　　　    　C．　　　　    D．

11、用與球心距離為的平面去截球，所得截面的面積為，則截面直徑的兩個端點(diǎn)的球面距離為  (     )

 A.                B.              C.                    D.

12、一次演講比賽中，需要安排10名選手的出場順序，方法是按照姓氏筆畫順序（由少至多），如姓氏筆畫相同則順序任意，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)10名選手中姓氏4畫的有2人，5畫的有3人，6畫的4人，7畫有1人，則不同的出場順序共有（   ）

A．24種             B．48種             C．144種                D．288種

_{第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）}

13、已知函數(shù)的反函數(shù)為，若，則a =        .

14、一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積為        .

15、將一個長、寬分別是8，7的鐵皮的四角均切去邊長為的正方形，然后折成一個無蓋的長方體的盒子，則當(dāng)這個長方體的對角線最短時，的值為     .

16、已知的兩頂點(diǎn)A、B是雙曲線的左右兩個焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C在雙曲線右支上，則

17、（本小題滿分10分）

設(shè)的內(nèi)角所對的邊長分別為，且．

（1）求證：；

（2）當(dāng)時，求；

18、（本小題滿分12分）

第29屆奧運(yùn)會期間，來自美國和英國的共計(jì)6名志愿者被隨機(jī)地平均分配到跳水、籃球、體操這三個崗位服務(wù)，且跳水崗位至少有一名美國志愿者的概率是．

（1）求6名志愿者中來自美國、英國的各幾人；

（2）求籃球崗位恰好美國人、英國人各一人的概率．

19、（本小題滿分12分）

如圖，已知平面，平面，三角形為等邊三角形，

，為的中點(diǎn)

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求二面角的大小。

20、（本小題滿分12分）

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足：，數(shù)列滿足：

（1）求；

（2）設(shè)，求的通項(xiàng)公式；

21、（本小題滿分12分）

已知橢圓的右準(zhǔn)線方程為，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)是否存在過點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),使得,并說明理由.

22、（本小題滿分12分）

在數(shù)列中，a₁=2，b₁=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）

（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

（2）證明：．

2009屆先知模擬卷數(shù)學(xué)試題（一）

答案解析及評分標(biāo)準(zhǔn)

1、B  ，，故

_2.Ａ可得，故．

3. C  因，得_，，得，則， ，

則

4．Ｄ   點(diǎn)是的高的交點(diǎn)，則

因此∴

同理可得: ,∴

5、C 根據(jù)分層抽樣的知識可知，抽樣比為，則老年人專用奶粉應(yīng)該抽取30050種，普通奶粉24040種，嬰幼兒奶粉36060種.從而可知答案選C．

6. A  ，平方得， 但反之無法推出，故是充分而不必要條件

_{7、B 根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，觀察圖像即可}．

8． B  ，,，

則滿足要求的最小偶數(shù)是6

9、Ａ．，，比較可得．

10、D　依題意得為拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線定義知圓心到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等，故圓必過拋物線的焦點(diǎn)．

11、A  截面半徑為1，設(shè)球半徑為，則，得，當(dāng)兩個點(diǎn)是截面直徑端點(diǎn)時易得球心角為60°，則球面距離為

12、D   提示：安排4畫的方法有種，5畫的方法有種，6畫的方法有種，7畫的方法有1種，由分步計(jì)數(shù)原理得=288種

13．6 ， ∴，∴.

14．pa³  以棱長為a的正四面體的四個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以補(bǔ)成棱長為a的正方體

，而一個球與正四面體的六條棱都相切，即這個球與正方體的六個面都相切，因此，球的半徑即為正方體棱長的，即R=a，所以V_球＝p(a)³＝pa³.

15．  設(shè)對角線為，則，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性可知當(dāng)時有最小值，且，是符合實(shí)際情況的

16、　．

17、(10分)解：（1）在中，由正弦定理及，

可得

即，故； 5分

（2），

故，

得，因，故，于是，

所以當(dāng)時，  10分

18.(12分)解：（1）記至少一名美國志愿者被分到跳水崗位為事件，則的對立事件為“沒有美國志愿者被分到跳水崗位”，設(shè)有美國人個，，那么，解得，即來自美國的2人，來自英國的4人．4分

（2）記籃球崗位恰好美國人、英國人各有一人為事件，那么，

所以籃球崗位恰好美國人、英國人各一人的概率是．理8分文12分

19．(12分)（1）證明：取的中點(diǎn)，連，

∵為的中點(diǎn) 

∴，而平面，平面，

故，又，

∴四邊形為平行四邊形

∴,又

所以平面    3分

（2）∵為等邊三角形，∴，而

故平面      5分

∵，∴平面

所以平面平面       7分

（3）在平面內(nèi)作交于，在平面內(nèi)作交于，連  ∵平面平面  ∴平面，由三垂線定理得

∴為二面角的平面角      9分

設(shè)，則，

∴    10分

又，其中  ∴    

∴

所以二面角的大小為（或）      .12分

方法二：

設(shè)，則；由已知得

建立如圖所示的坐標(biāo)系，     

則：

∵為的中點(diǎn)，∴      2分

（1）證明：      3分

∵，A不在平面內(nèi)，∴平面      4分

（2）∵   5分

∴，∴      6分

∴平面，又平面

∴平面平面      7

（3）設(shè)平面的法向量為

由可得：     

設(shè)平面的法向量為

由可得：      9分

∴    

∴二面角的大小為      12分

20.(12分)解：（1）由得：  則

       當(dāng)時，  

     故為等比數(shù)列，且      6分

 （2）由得： 因，

故    8分

為等比數(shù)列，首項(xiàng)；公比 

 12分

21.(12分)解.：(1)由題意可知，又，解得，

橢圓的方程為；4分

（2）由（1）得，所以.假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)的方程為

，代入，得，

設(shè)，則   ①

，6分

，

而的方向向量為，

;

于是當(dāng)時,，也即存在這樣的直線;

當(dāng)時,不存在，即不存在這樣的直線 .12分

22.解：（1）由條件得，由此可得

．

猜測．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時，由上可得結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即

，

那么當(dāng)時，

．

所以當(dāng)時，結(jié)論也成立．

由①②，可知對一切正整數(shù)都成立．6分

（2）．

時，由（1）知．

故

綜上，原不等式成立．12分