題目列表(包括答案和解析)
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
.
【解析】首先證明當(dāng)n=1時(shí)等式成立,再假設(shè)n=k時(shí)等式成立,得到等式
,
下面證明當(dāng)n=k+1時(shí)等式左邊
,
根據(jù)前面的假設(shè)化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果,最后得到結(jié)論.
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值
于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng). 、
令則
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),即
從而,又
所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
已知,(其中)
⑴求及;
⑵試比較與的大小,并說明理由.
【解析】第一問中取,則; …………1分
對(duì)等式兩邊求導(dǎo),得
取,則得到結(jié)論
第二問中,要比較與的大小,即比較:與的大小,歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
猜想:當(dāng)時(shí),運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。
解:⑴取,則; …………1分
對(duì)等式兩邊求導(dǎo),得,
取,則。 …………4分
⑵要比較與的大小,即比較:與的大小,
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),; …………6分
猜想:當(dāng)時(shí),,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
由上述過程可知,時(shí)結(jié)論成立,
假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即,
當(dāng)時(shí),
而
∴
即時(shí)結(jié)論也成立,
∴當(dāng)時(shí),成立。 …………11分
綜上得,當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),
在數(shù)列中, 記
(Ⅰ)求、、、并推測(cè);
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
【解析】第一問利用遞推關(guān)系可知,、、、,猜想可得
第二問中,①當(dāng)時(shí),=,又,猜想正確
②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立,即,
當(dāng)時(shí),
=
=,即當(dāng)時(shí)猜想也成立
兩步驟得到。
(2)①當(dāng)時(shí),=,又,猜想正確
②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立,即,
當(dāng)時(shí),
=
=,即當(dāng)時(shí)猜想也成立
由①②可知,對(duì)于任何正整數(shù)都有成立
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 設(shè) (N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式,表示通項(xiàng)公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由得. ……2分
若存在由得,
從而有,與矛盾,所以.
從而由得得. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一. ……10分
證法三:(利用對(duì)偶式)設(shè),,
則.又,也即,所以,也即,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">,所以.即
………10分
證法四:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)時(shí), ,命題成立;
②假設(shè)時(shí),命題成立,即,
則當(dāng)時(shí),
即
即
故當(dāng)時(shí),命題成立.
綜上可知,對(duì)一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
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