理科數(shù)學(xué)試題卷　第頁(共8頁

上饒市2008－2009學(xué)年度高三年級第一次模擬考試

理科數(shù)學(xué)試題卷

命題人：黎金傳　何耀煌　席米有　董樂華

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分.考試時間120分鐘.

參考公式

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　　　　　　　　球的表面積公式

　　P(A＋B)＝P(A)＋P(B)  S＝4πR2

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么  其中R表示球的半徑

　　P(A?B)＝P(A)?P(B)  球的體積公式

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么   V＝πR3

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率  其中R表示球的半徑

Pn(k)＝CPk(1－P)n－k

第Ⅰ卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z＝(其中i為虛數(shù)單位)，則|z＋1|等于

A.0　　　　　　　B.1　　　　　　　C.　　　　　　　D.2

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2.已知{an}為等差數(shù)列，a1＝15，S5＝55，則過點(diǎn)P(3，a2)，Q(4，a4)的直線的斜率為

A.4  B.  C.－4  D.－

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3.(x－)9的展開式的第3項(xiàng)是

A.－84x3  B.84x3  C.－36x5  D.36x5

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4.函數(shù)y＝3sin(2x＋)的圖象按向量a平移后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)(－，0)中心對稱，則向量a的坐標(biāo)可能為

A.(－，0)  B.(－，0)  C.(，0)  D.(，0)

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5.如圖，在△ABC中，tan ＝，?＝0，則過點(diǎn)C，以A，H為兩焦點(diǎn)的雙曲線的離心率為

A.  B.2  C.  D.3

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6.將正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時，異面直線AD與BC所成的角為

A.  B.  C.  D.

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7.若直線mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個數(shù)為

A.至多一個  B.2個  C.1個  D.0個

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8.已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足：f′(0)>0，若對任意實(shí)數(shù)x，有

f(x)≥0，則的最小值為

A.  B.3  C.  D.2

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9.已知平面α與β所成的角為80°，P為α，β外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與α，β所成角都是30°，則這樣的直線有且僅有

A.1條  B.2條  C.3條  D.4條

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10.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，過點(diǎn)(1，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，則m的取值范圍是

A.(－3，－2)  B.(－2,3)  C.(－1,2)  D.(－1,1)

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11.若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)的和不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“可連續(xù)”.例如：32是“可連續(xù)”，因32＋33＋34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“可連續(xù)”，因23＋24＋25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.如果自然數(shù)n∈(1000,10000)，那么，“可連續(xù)”自然數(shù)n的個數(shù)為

A.27  B.36  C.72  D.144

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12.如圖，有一面墻(墻的長度足夠長)，在墻邊P、Q處各有一棵樹與墻的距離均為2 m，P、Q兩棵樹之間的距離為a m(0<a<12)，不考慮樹的粗細(xì)，現(xiàn)在想用16 m長的籬笆，借助這面墻圍成一個矩形的花圃ABCD，設(shè)此矩形花圃最大面積是S，若將這兩棵樹圍在花圃內(nèi)，則函數(shù)S＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是

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第Ⅱ卷

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，答案填寫在題中橫線上.

13.△ABC中，三內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知B＝60°，不等式－x2＋6x－8>0的解集為{x|a<x<c}，則b＝　　　　.

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14.已知集合A＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R}，B＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－b)2≤1，x，y∈R，(a，b)∈A}，則集合B所表示的圖形的面積是　　　　.

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15.已知＋＝1(m>0，n>0)，當(dāng)mn取得最小值時，直線y＝－x＋2與曲線＋＝1的交點(diǎn)個數(shù)為　　　　.

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16.對一切實(shí)數(shù)x，令[x]為不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)＝[x]稱為高斯函數(shù)或取整函數(shù).若an＝f()，n∈N*，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則＝　　　　.

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三、解答題：本大題共6小題，滿分74分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

已知a＝(2cos ，tan(＋))，b＝(sin(＋)，tan(－))，令f(x)＝a?b.

(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若x∈[0，)時，f(x)－m>1恒成立，求m的取值范圍.

 

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18.(本小題滿分12分)

美國次貸危機(jī)引發(fā)2008年全球金融動蕩，波及中國股市，甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之際“抄底”.若四人商定在圈定的6只股票中各自隨機(jī)購買一只(假定購買時每支股票的基本情況完全相同).

(1)求甲、乙、丙、丁四人恰好買到同一只股票的概率；

(2)求甲、乙、丙、丁四人中至多有兩人買到同一只股票的概率；

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(3)由于國家采取了積極的救市措施，股市漸趨“回暖”.若某人今天按上一交易日的收盤價20元/股，買入某只股票1000股(10手)，且預(yù)計今天收盤時，該只股票比上一交易日的收盤價上漲10%(漲停)的概率為0.6.持平的概率為0.2，否則將下跌10%(跌停)，求此人今天獲利的數(shù)學(xué)期望(不考慮傭金，印花稅等交易費(fèi)用).

 

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19.(本小題滿分12分)

如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC－A1B1C1中，AC1＝2，側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，

(1)求棱A1B1與平面AB1C所成角的大小；

(2)已知D點(diǎn)滿足＝＋，在直線AA1上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB1C？若存在，確定P點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.

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20.(本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列{an}滿足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1,1,3后順次成為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng).

(1)分別求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式an，bn；

(2)設(shè)Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，若Tn＋－<c(c∈Z)恒成立，求c的最小值.

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21.(本小題滿分12分)

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標(biāo)準(zhǔn)橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，M(，1)在橢圓上，且?＝0.

(1)求橢圓方程；

(2)若N在橢圓上，O為原點(diǎn)，直線l的方向向量為，若l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且NA、NB與x軸圍成的三角形是等腰三角形(兩腰所在的直線是NA、NB)，則稱N點(diǎn)為橢圓的特征點(diǎn)，求該橢圓的特征點(diǎn).

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22.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2－2x(a<0).

(1)若函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

(2)若a＝－且關(guān)于x的方程f(x)＝－x＋b在[1,4]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

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(3)設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝ln an＋an＋2，n∈N*，求證：an≤2n－1.

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理科數(shù)學(xué)參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)

 

一、選擇題　BCDC　BCBD　DADC

二、填空題　13.2　14.12＋π　15.2　16.100

三、解答題

17.解：當(dāng)±≠kπ＋時，1分

有：f(x)＝2sin(＋)?cos ＋tan(＋)?tan(－)

＝sin x＋2cos2－1＝sin x＋cos x＝sin(x＋).4分

(1)令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得2kπ－≤x≤2kπ＋.

又由±≠kπ＋，得x≠2kπ±.6分

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是：[2kπ－，2kπ－)，(2kπ－，2kπ＋](k∈Z).8分

(2)當(dāng)x∈[0，)時，x＋∈[，)，則sin(x＋)有最小值.10分

此時f(x)min＝1，故由題意得1－m>1⇒m<0.12分

18.解：(1)四人恰好買到同一只股票的概率P1＝6××××＝.4分

(2)(法一)四人中有兩人買到同一只股票的概率P2＝＝.

四人中每人買到不同的股票的概率P3＝＝＝.

所以四人中至多有兩人買到同一只股票的概率P＝P2＋P3＝＋＝＝.8分

(法二)四人中有三人恰好買到同一只股票的概率P4＝＝＝.

所以四人中至多有兩人買到同一只股票的概率P＝1－P1－P4＝＝.8分

(3)每股今天獲利錢數(shù)ξ的分布列為：

ξ

2

0

－2

P

0.6

0.2

0.2

 

所以，10手股票在今日交易中獲利錢數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

1000Eξ＝1000×[2×0.6＋0×0.2＋(－2)×0.2]＝800.12分

19.解：(法一)(1)∵AC1＝2，∴∠A1AC＝60°.側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于點(diǎn)O，則A1O⊥平面ABC，可得：AO＝1，A1O＝OB＝，AO＝1，BO⊥AC.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.2分

則A(0，－1,0)，B(，0,0)，A1(0,0，)，C(0,1,0)，B1(，1，).

∴＝(，1,0)，＝(，2，)，＝(0,2,0).

設(shè)平面AB1C的法向量為n＝(x，y,1)，由解得n＝(－1,0,1)，4分

由cos〈，n〉＝－得：棱A1B1與平面AB1C所成的角的大小為arcsin .6分

(2)設(shè)存在點(diǎn)P符合，且點(diǎn)P坐標(biāo)設(shè)為P(0，y，z)，7分

＝＋＝(－2，0,0)，∴D(－，0,0).

∴＝(，y，z).平面AB1C的法向量n＝(－1,0,1)，又DP∥平面AB1C，

∴?n＝0，得z＝，由＝λ得：∴y＝0，∴P(0,0，).10分

又DP⊄平面AB1C，故存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB1C，其坐標(biāo)為(0,0，)，恰好為A1點(diǎn).12分

(法二)(1)如圖可得，B1C＝＝，△ABM中，得AM＝，

∴AB1＝，AC＝2，∴AC⊥B1C.∴S△AB1C＝.

設(shè)B到平面AB1C的距離是d，則有d＝＝.3分

設(shè)棱AB與平面AB1C所成的角的大小是θ，則sin θ＝＝，5分

又AB∥A1B1，∴A1B1與平面AB1C所成的角的大小是arcsin .6分

(2)＝＋，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴＝＝，8分

∴CDA1B1是平行四邊形.∴A1D∥B1C，10分

又A1D⊄面AB1C，B1C⊂面AB1C，

∴A1D∥平面AB1C，故存在點(diǎn)P即點(diǎn)A1，使DP∥平面AB1C.12分

20.解：(1)設(shè)d、q分別為數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}的公差與公式.

由題意知，a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)是2,2＋d,4＋2d，

∴(2＋d)2＝2(4＋2d)⇒d＝±2.2分

∵an＋1>an，∴d>0.∴d＝2，∴an＝2n－1(n∈N*).4分

由此可得b1＝2，b2＝4，q＝2，∴bn＝2n(n∈N*).5分

(2)Tn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋，①

當(dāng)n＝1時，Tn＝＋＋＋…＋.�、�

①－②，得：Tn＝＋2(＋＋…＋)－＝＋(1－)－.

∴Tn＝3－－＝3－.9分

∴Tn＋－＝3－<3.10分

∴滿足條件Tn＋－<c(c∈Z)恒成立的最小整數(shù)值為c＝3.12分

21.解：(1)在Rt△F1MF2中，|OM|＝＝2知c＝2，

則解得a2＝6，b2＝2，∴橢圓方程為＋＝1.4分

(2)設(shè)N(m，n)(m≠0)，l為y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由y＝x＋t與＋＝1得(＋)x2＋tx＋－1＝0，6分

由點(diǎn)N(m，n)在橢圓上知，＋＝代入得＋tx＋－1＝0，

∴x1＋x2＝－mnt，x1x2＝m2(－1)，①8分

∴kNA＋kNB＝＋＝

＝

將①式代入得kNA＋kNB＝，

又∵NA、NB與x軸圍成的三角形是等腰三角形得kNA＋kNB＝0，10分

∴n2＝1代入＋＝1得m2＝3，∴N(±，±1).12分

22.解：(1)f′(x)＝－(x>0).依題意f′(x)<0在x>0時有解，即ax2＋2x－1>0在x>0有解.則Δ＝4＋4a>0且方程ax2＋2x－1＝0至少有一個正根.

此時，－1<a<0.4分

(2)a＝－，f(x)＝－x＋b⇔x2－x＋ln x－b＝0.

設(shè)g(x)＝x2－x＋ln x－b(x>0)，則g′(x)＝.列表：

x

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,4)

g′(x)

＋

0

－

0

＋

g(x)

?

極大值

?

極小值

?

∴g(x)極小值＝g(2)＝ln 2－b－2，g(x)極大值＝g(1)＝－b－，g(4)＝－b－2＋2ln 2.6分

∵方程g(x)＝0在[1,4]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

則解得：ln 2－2<b≤－.9分

(3)設(shè)h(x)＝ln x－x＋1，x∈[1，＋∞)，則h′(x)＝－1≤0，

∴h(x)在[1，＋∞)為減函數(shù)，且h(x)max＝h(1)＝0，故當(dāng)x≥1時有l(wèi)n x≤x－1.

∵a1＝1，假設(shè)ak≥1(k∈N*)，則ak＋1＝ln ak＋ak＋2>1，故an≥1(n∈N*).

從而an＋1＝ln an＋an＋2≤2an＋1，∴1＋an＋1≤2(1＋an)≤…≤2n(1＋a1).

即1＋an≤2n，∴an≤2n－1.14分

 

 


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