江蘇省泰州市2008～2009學年高三第二學期期初聯(lián)考

數(shù)學試題

 (考試時間：120分鐘   總分160分)

命題人：朱占奎（ 江蘇省靖江中學）  楊鶴云（江蘇省泰州中學） 蔡德華（泰興市第二高級中學）

審題人：周如才（江蘇省姜堰中學）   石志群（泰州市教研室）        

注意事項：所有試題的答案均填寫在答題紙上，答案寫在試卷上的無效．

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)，，，的方差                                   

                       其中為樣本平均數(shù)       

圓柱的側面積  

一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．請將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應答題線上．）

1．已知全集，，，則    ▲    ．

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2．函數(shù)的最小正周期是         ▲          ．

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3．         ▲          ．


 

  
  

   

    
    

    
第4題圖


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5．已知下列三組條件：（1），；（2），（為實常數(shù)）；（3）定義域為上的函數(shù)滿足，定義域為的函數(shù)是單調減函數(shù)．其中A是B的充分不必要條件的是      
▲       ．（填寫所有滿足要求的條件組的序號）


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6．在等差數(shù)列中，若，則        
▲         
．


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7．甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)4年的單位面積平均產(chǎn)量如下：
品種
第1年
第2年
第3年
第4年
甲


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9.8


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9.9


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10.2


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10.1
乙


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9.7
10
10


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10.3
 
其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的水稻品種是        
▲         
．


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8．在橢圓中，我們有如下結論：橢圓上斜率為1的弦的中點在直線上，類比上述結論，得到正確的結論為：雙曲線上斜率為1的弦的中點在直線   ▲  上．


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9．某算法的偽代碼如圖,則輸出的結果是        
▲         
．


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第9題圖                         
第10題圖


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10．一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的內接圓柱側面積的最大值為    ▲    ．


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11．若（）在上有零點，則的最小值為    ▲    ．


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12．已知拋物線焦點恰好是雙曲線的右焦點，且雙曲線過點（），則該雙曲線的漸近線方程為        
▲         
．


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13．已知函數(shù)的圖象和函數(shù)()的圖象關于直線對稱（為常數(shù)），則        
▲         
．


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14．設為常數(shù)（），若


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對一切恒成立，則 ▲  ．


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二、解答題：（本大題共6小題,共90分．解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟．） 
15．（本小題滿分14分）


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已知．


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（1）若，求的值；


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（2）若，求的值．
 
 


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16．（本小題滿分14分）


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如圖，、分別為直角三角形的直角邊和斜邊的中點，沿將折起到的位置，連結、，為的中點．


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（1）求證：平面；


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（2）求證：平面平面；


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（3）求證：平面．
 
 
 
 
 


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17．（本小題滿分15分）


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已知直線：（為常數(shù)）過橢圓（）的上頂點和左焦點，直線被圓截得的弦長為．


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（1）若，求的值；


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（2）若，求橢圓離心率的取值范圍．
 
 
 
 


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18．（本小題滿分15分）


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如圖，有一塊四邊形綠化區(qū)域，其中，，，現(xiàn)準備經(jīng)過上一點和上一點鋪設水管，且將四邊形分成面積相等的兩部分，設，．


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（1）求的關系式；


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（2）求水管的長的最小值．
 
 


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19．（本小題滿分16分）


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已知曲線：（為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線：和


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直線：．


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（1）求證：直線與曲線，都相切，且切于同一點；


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（2）設直線與曲線   ，及直線分別相交于，記，求在上的最大值；


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（3）設直線（為自然數(shù)）與曲線和的交點分別為和，問是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出；若不存在，請說明理由. (本小題參考數(shù)據(jù)≈2.7) ．
 


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20．（本小題滿分16分）


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已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列和公比為（）的等比數(shù)列．


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（1）若，且對一切恒成立，求證：；


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（2）若>1，集合，求使不等式


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成立的自然數(shù)恰有4個的正整數(shù)的值．
 
 
泰州市2008～2009學年度第二學期期初聯(lián)考
高三數(shù)學試題附加題部分
(考試時間：30分鐘   總分40分) 
 


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21．[選做題]在A，B，C，D四小題中只能選做2小題，每題10分，共20分；請在答題紙上按指定要求在指定區(qū)域內作答，解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。


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A．選修4―1　幾何證明選講


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如圖，圓的兩條弦、相交于點．


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（1）若，求證：；


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（2）若，，圓的半徑為3，求的長．
 
 
 
 
B．選修4―2　矩陣與變換


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設數(shù)列滿足，且滿足，試求二階矩陣．
 
 
C．選修4―4　參數(shù)方程與極坐標


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圓和圓的極坐標方程分別為．


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（1）把圓和圓的極坐標方程化為直角坐標方程；


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（2）求經(jīng)過圓，圓兩個交點的直線的直角坐標方程．
 
 
D．選修4―5　不等式證明選講


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若，


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求證 ：（1）；


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（2）．
 


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[必做題]第22、23題，每小題10分，共計20分，請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。


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22．某小組有6個同學，其中4個同學從來沒有參加過數(shù)學研究性學習活動，2個同學曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動.
   （1）現(xiàn)從該小組中任選2個同學參加數(shù)學研究性學習活動，求恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動的同學的概率；


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（2）若從該小組中任選2個同學參加數(shù)學研究性學習活動，活動結束后，該小組沒有參加過數(shù)學研究性學習活動的同學個數(shù)是一個隨機變量，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.
 
 
 
 
 
 
 
 


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23．如圖，在棱長為1的正方體中，、分別為和的中點．


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（1）求異面直線和所成的角的余弦值；


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（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；


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（3）若點在正方形內部或其邊界上，且平面，求的最大值、最小值．
 
 
 
 
 
 
 
 
泰州市2008～2009學年度第二學期期初聯(lián)考


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一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）
1．       2．1    3．－2     4．      5． （1）（2）
6． 4    7．甲       8．    9．9      10． 
11．－2      
12．       13．2       14． 2
二、解答題：（本大題共6小題,共90分．）
15．（本小題滿分14分）
解：（1）∵
∴        …………………………………………5分
（2）∵∴
…………………………………………7分
        
……………………………………9分
或或7                  
………………………………14分
16．（本小題滿分14分）
(1)證明：E、P分別為AC、A′C的中點，
        EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B
       ∴即EP∥平面A′FB                 
…………………………………………5分
(2) 證明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
   ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC
     BC平面A′BC
   ∴平面A′BC⊥平面A′EC            
…………………………………………9分
(3)證明：在△A′EC中，P為A′C的中點，∴EP⊥A′C，
  在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C
      由(2)知：BC⊥平面A′EC   又A′A平面A′EC
      ∴BC⊥AA′
      ∴A′A⊥平面A′BC                  
…………………………………………14分
 
17．（本小題滿分15分）
解：（1）取弦的中點為M，連結OM
由平面幾何知識，OM=1
                  
…………………………………………3分
解得：，              
………………………………………5分
∵直線過F、B ，∴則     …………………………………………6分
（2）設弦的中點為M，連結OM
則
           
  ……………………………………9分
解得                      
…………………………………………11分
∴                   
…………………………………………15分
（本題也可以利用特征三角形中的有關數(shù)據(jù)直接求得）
18．（本小題滿分15分）
（1）延長BD、CE交于A，則AD=，AE=2
     則S△ADE= S△BDE= S△BCE=
      ∵S△APQ=，∴ 
      ∴            
…………………………………………7分
（2）
         
=?
…………………………………………12分
    當，
即，            
…………………………………………15分
19．（本小題滿分16分）
解（1）證：       由  得
在上點處的切線為，即
又在上點處切線可計算得，即
∴直線與、都相切，且切于同一點（）      …………………5分
（2）
      …………………7分
   ∴在上遞增
   ∴當時……………10分
（3）
設上式為 ，假設取正實數(shù)，則?
當時，，遞減；
當，，遞增． ……………………………………12分
                

     
∴不存在正整數(shù)，使得
即                 
…………………………………………16分
20．（本小題滿分16分）
解：（1），
，對一切恒成立
的最小值，又 ，
                      
…………………………………………4分
（2）這5個數(shù)中成等比且公比的三數(shù)只能為
只能是，
      …………………………8分
，顯然成立            
……………………………………12分
當時，，
使不等式成立的自然數(shù)n恰有4個的正整數(shù)p值為3 
                         
……………………………………………16分
 
 
泰州市2008～2009學年度第二學期期初聯(lián)考
高三數(shù)學試題參考答案
附加題部分
21．（選做題）（從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．）
A．解：(1)
∴
∴AB=CD                            ……………………………………4分
（2）由相交弦定理得
2×1=(3+OP)(3-OP)
∴，∴              
……………………………………10分
B．解：依題設有：     ………………………………………4分
 令，則          
…………………………………………5分
          
…………………………………………7分
  ………………………………10分
C．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．（1），，由得．
所以．
即為圓的直角坐標方程．  ……………………………………3分
同理為圓的直角坐標方程． ……………………………………6分
（2）由　　　　　　
相減得過交點的直線的直角坐標方程為． …………………………10分
D．證明：（1）因為
    所以         
…………………………………………4分
    （2）∵   …………………………………………6分
    同理，，……………………………………8分
    三式相加即得……………………………10分
22．（必做題）（本小題滿分10分）
解：（1）記“恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動的同學”為事件的, 則其概率為               
…………………………………………4分
    答：恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動的同學的概率為
（2）隨機變量
                       
……………………5分
                  
…………………………6分
                 
………………………………7分
∴隨機變量的分布列為
2
3
4
P
 
∴                   
…………………………10分
23．（必做題）（本小題滿分10分）
（1），，，
，
             
……………………………………3分
（2）平面BDD1的一個法向量為
設平面BFC1的法向量為
∴
取得平面BFC1的一個法向量
∴所求的余弦值為                    
……………………………………6分
（3）設（）
，由得
即，
當時，
當時，∴   ……………………………………10分
 
 

				
	

		



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