武漢市2007屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測試

理科數(shù)學(xué)試卷  2007.2.5

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z= 的值為(    )

A. (1＋i)   B. －(1＋i)  C. (1－i)    D. －(1－i)

試題詳情

2.在等比數(shù)列{an}中, a3= , S3=   , 則首項a1=(   )

A.    B. －   C. 6或－    D. 6或

試題詳情

3.已知角α的正切線是單位長度的有向線段,那么角α的終邊在(  )

A. x軸上   B. y軸上  C.直線y=x上   D.直線y=x 或y=－x上

試題詳情

4.已知全集U=R, A= {x| ≥0}, 則CuA=(   )

A.{x|－1<x≤0}   B. {x|－1<x<0}   C. {x|－1≤x<0}    D. {x|－1≤x≤0}

試題詳情

5.在正方體ABCD－A1B1C1D1中, E、F、M分別為AA1,C1D1,BC的中點,那么直線B1E與FM所成角的余弦值為(   )

試題詳情

A.0   B.1  C.       D.

試題詳情

6.若AB過橢圓 ＋ =1 中心的弦, F1為橢圓的焦點, 則△F1AB面積的最大值為(    )

試題詳情

A. 6   B.12   C.24   D.48

試題詳情

7.在△ABC中, D為AC邊的中點, E為AB上一點, BC、CF交于一點F, 且 , 若, , 則實數(shù)λ的值為(    )

A.      B.     C.     D.

試題詳情

8.將4個相同的小球投入3個不同的盒內(nèi), 不同的投入方式共有(  )

A. 43種    B. 34種    C. 15種    D. 30種

試題詳情

9.如果實數(shù)x、y滿足, 目標(biāo)函數(shù)z=kx＋y的最大值為12, 最小值3, 那么實數(shù)k的值為(    )

A. 2  B. －2   C.    D.不存在

試題詳情

10. 函數(shù)y=|cos2x|＋|cosx|的值域為(   )

A. [, 2]    B. [,2]    C. [, ]  D.[,2]                        

二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

試題詳情

11.(1＋x)6(1－x) 展開式中x2項的系數(shù)是________

試題詳情

12. x→1lim= _________

試題詳情

13.如果直線l 過定點M(1,2)且與拋物線y=2x2有且僅有一個公共點, 那么直線l的方程為_______

試題詳情

14.正四棱錐S－ABCD內(nèi)接于一個半徑為R的球, 那么這個正四棱錐體積的最大值為_____

試題詳情

15. 函數(shù)f(x)=x3－3x2＋6x－7的圖象是中心對稱圖形, 其對稱中心的坐標(biāo)為_________

三.解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫了文字說明，證明過程或演算步驟.

試題詳情

16.(本小題滿分12分)

試題詳情

如圖, 在平面四邊形ABCD中, AB=AD=1, ∠BAD=θ, 而△BCD是正三角形,

(1) 將四邊形ABCD面積S表示為θ的函數(shù);

(2) 求S的最大值及此時θ角的值.

 

 

 

 

 

 

試題詳情

17. (本小題滿分12分)

試題詳情

如圖, 在斜三棱柱ABC－A1B1C1中 AB=BC=2, ∠ABC= 120°, 又頂點A1在底面ABC上的射影落在AC上, 側(cè)棱AA1與底面成60°的角, D為AC的中點.

(1) 求證: AA1⊥BD;

(2)若面A1DB⊥面DC1B, 求側(cè)棱AA1之長.

 

 

 

試題詳情

18. (本小題滿分12分)

A袋中裝有大小相同的紅球1個, 白球2個, B袋中裝有與A袋中相同大小的紅球2個, 白球3個. 先從A中取出1個球投入B中, 然后從B中取出2個球. 設(shè)ξ表示從B中取出紅球的個數(shù).

(1) 求ξ=2時的概率;

(2)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望

 

試題詳情

19. (本小題滿分13分)

試題詳情

如圖, 直線l : y= (x－2) 和雙曲線C: － = 1 (a>0,b>0) 交于A、B兩點, |AB|= , 又l關(guān)于直線l1: y= x對稱的直線l2與x軸平行.

(1)求雙曲線C的離心率；

(2)求雙曲線C的方程.

 

 

 

 

試題詳情

20. (本小題滿分13分)

已知數(shù)列{an}的前n項之和Sn與an滿足關(guān)系式: nSn＋1=(n＋2)Sn＋an＋2 (n∈N＋)

(1)若a1=0 , 求a2,a3的值;

(2) 求證: a1=0是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件.

 

 

 

 

 

 

試題詳情

21. (本小題滿分13分)

已知函數(shù)f(x)=x2＋2x＋alnx

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上恒為單調(diào)函數(shù), 求實數(shù)a的取值范圍;

(2) 當(dāng)t≥1時, 不等式f(2t－1) ≥2f(t)－3恒成立, 求實數(shù)a的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.B 7.B 8.C 9.A 10.B 

11.9  12.     13.x=1 或y=4x－2   14. R3   15. (1,－3)

16.解: (1)△ABD的面積S= absinC=?1?1?sinθ= sinθ

∵△BDC是正三角形, 則△BDC面積=BD2 : 而由△ABD及余弦定理可知:

BD2=12＋12＋2?1?1?cosθ= 2－2cosθ

于是四邊形ABCD面積S= sinθ ＋ (2－2cosθ)   

S= ＋ sin(θ－) 其中0<θ<π

(2)由 S= ＋ sin(θ－)  及0<θ<π  則－<θ－<

在θ－= 時, S取得最大值 1＋  此時θ= ＋ =

17.(1) 在斜三棱柱ABC－A1B1C1中, 因為A1在底面ABC上射影落在AC上, 則平面A1ACC1經(jīng)過底面ABC的垂線 故側(cè)面A1C⊥面ABC.又 BD為等腰△ABC底邊AC上中線, 則BD⊥AC, 從而BD⊥面AC . ∴BD⊥面A1C 又AA1Ì 面A1C  ∴AA1⊥BD

(2)在底面ABC, △ABC是等腰三角形, D為底邊AC上中點, 故DB⊥AC, 又面ABC⊥面A1C

∴DB⊥面A1C  , 則DB⊥DA1,DB⊥DC1  , 則∠A1DC1是二面角A1－OB－C1的平面角

∵面A1DB面DC1B, 則∠A1DC1=Rt∠, 將平面A1ACC1放在平面坐標(biāo)系中(如圖),  ∵側(cè)棱AA1和底面成60°, 設(shè)A1A=a , 則A1=( , a), C1( ＋ 2, a)  A(0,0) , C(2, 0), AC中點D(, 0), 由知: (－, a)?( ＋, a)=0 , ∴a2=3, a=

故所求側(cè)棱AA1長為

18.(1) ξ=2表示從B中取出兩個紅球.

① 從A中取一紅球放入B中, 再從B中取2紅球的概率P= ? =

② 從A中取一白球放入B中, 再從B中取2紅球的概率P=? =

∴P(ξ=2)= ＋ =

(2) 由(1)的方式可知: P(ξ=0)= ? ＋? =

P(ξ=1)= ?  ＋ ?  =  

ξ

0

1

2

P

∴ξ的概率分布列為: 

 

Eξ=1? ＋ 2? = =

19.  解: (1) 設(shè)雙曲線一、三象限漸近線l1: － =0 的傾 斜角為α ∵l和l2關(guān)于直線l1對稱, 記它們的交點為P. 而l2與x軸平行, 記l2與y軸交點為Q 依題意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α(銳角)又AB: y=  (x－2), 故tan2α=  則 = , 求得tanα= , tanα=－2(舍)  ∴ =   , e2= = 1＋()2 =    ,因此雙曲線C的離心率 .

 (2) ∵ = , 故設(shè)所求雙曲線方程 － =1 將 y= (x－2),代入 x2－4y2=4k2,

消去y得: x2－ x＋ ＋ k2=0  設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2)

|AB| = |x1－x2| = ?= ?

= , 化簡得到: =   , 求得k2=1 .

故所求雙曲線C的方程為: －y2=1

20.解: (1)由 nSn＋1=(n＋2)Sn＋an＋2  (*)

變形為n(Sn＋1－Sn)=2Sn＋an＋2, 而Sn是{an}前n項和, 于是有nan＋1=2Sn＋an＋2, a1=0,

在n=1, a2=2a1＋a1＋2=2, 則a2=2 , 在n=2, 2a3=2(a1＋a2)＋a2＋2=4＋4=8, 則a3=4

(2)充分性: 由(1)可猜測到: an=2n－2. 下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明: an=2n－2

① 在n=1時, a1=2×1－2=0 與已知 a1=0一致 故n=1時, an=2n－2成立.

②假設(shè)n≤k時, an=2n－2成立,

∴Sk=a1＋a2＋……＋ak=0＋2＋4＋…＋(2k－1)=k(k－1)

∵ (*)式 nan＋1=2Sn＋an＋2恒成立, 則kan＋1=2Sk＋ak＋2 = 2k(k－1)＋(2k－2)＋2=2k2

∴ ak＋1=2k=2[(k＋1)－1]

故n=k＋1時, an=2n－2成立, 綜合①②可知: an=2n－2成立對n∈N*恒成立.

∴數(shù)列{an}的通項為an=2n－1, ∴an－an－1=2(n≥2, n∈N＋)

由等差數(shù)列定義可知{an}是等差數(shù)列, 從而充分性得證.

必要性: 由(1)可知 nan＋1=2Sn＋an＋2恒成立, 則(n－1)an=2Sn－1＋an－1＋2(n≥2)(**)

若{an}是等差數(shù)列, 則an－an－1=d(n≥2),且an=a1＋(n－1)d. 代入(**) 式中有:

n(an＋1－an)=2an－an－1  ∴ nd=an＋d=a1＋(n－1)d＋d ∴a1=0 從而必要性得證.

因此a1=0 是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分條件.

21. 解: (1)由 f(x)=x2＋2x＋alnx 求導(dǎo)數(shù)得f '(x)=2x＋2＋

f(x)在(0,1)上恒單調(diào),只需f '(x) ≥ 0 或≤0在(0,1)上恒成立.

只需2x2＋2x＋a≥0 , 或2x2＋2x＋a≤0恒成立

即只需 a ≥ －(2x2＋2x) 或a≤－(2x2＋2x) 在(0,1)上恒成立.

又記g(x)=－2x(x＋1) , 0<x≤1 可知: －4 ≤g(x)<0 ∴所求a≥0 或a≤－4

(2) ∵ f(x) =x2＋2x＋alnx 由f(2t－1)≥2f(t)－3得到:

(2t－1)2＋2(2t－1)＋aln(2t－1)≥2(t2＋2t＋alnt)－3

化簡為: 2(t－1)2≥a?ln   ①  

∵t>1時, 有t2>2t－1, 則ln >0 . a≤  ②

構(gòu)造函數(shù)m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), 求導(dǎo)m '(x) = －1=

則m(x)在x=0時取極大值, 同時也是最大值.故m(x)≤m(0).

從而ln(1＋x)≤x在x>－1上恒成立.

∴l(xiāng)n = ln(1＋ )≤  < (t－1)2  ③ 

在t>1時恒成立, 而t=1時③式取等號.  

∴l(xiāng)n ≤ (t－1)2      ④

在t≥1時恒成立. 因此由②④可知實數(shù)a取值范圍:  a≤2.

 


同步練習(xí)冊答案