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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分13分)  已知二項式 

（1）求其展開式中第四項的二項式系數；

（2）求其展開式中第四項的系數 。

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(本小題滿分13分)某廠用甲、乙兩種產品，已知生產1噸A產品，1噸B產品分別需要的甲乙原料數、可獲得的利潤及該廠現有原料數如表：

產品

所需原料

A產品（t）

B產品（t）

現有原料(t)

甲（t）

2

1

14

乙（t）

1

3

18

利潤（萬元）

5

3

 

(1)在現有原料下，A、B產品應各生產多少才能使利潤最大？

(2)如果1噸B產品的利潤增加到20萬元，原來的最優(yōu)解為何改變？

(3)如果1噸B產品的利潤減少1萬元，原來的最優(yōu)解為何改變？

(4)1噸B產品的利潤在什么范圍，原最優(yōu)解才不會改變？

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 (本小題滿分13分)

某市物價局調查了某種治療H1N1流感的常規(guī)藥品在2009年每個月的批發(fā)價格和該藥品在藥店的銷售價格，調查發(fā)現，該藥品的批發(fā)價格按月份以12元/盒為中心價隨某一正弦曲線上下波動，且3月份的批發(fā)價格最高為14元/盒，7月份的批發(fā)價格最低為10元/盒.該藥品在藥店的銷售價格按月份以14元/盒為中心價隨另一正弦曲線上下波動，且5月份的銷售價格最高為16元/盒，9月份的銷售價格最低為12元/盒.

（Ⅰ）求該藥品每盒的批發(fā)價格f(x)和銷售價格g(x)關于月份的函數解析式；

（Ⅱ）假設某藥店每月初都購進這種藥品p 盒，且當月售完，求該藥店在2009年哪些月份是盈利的？說明你的理由.

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(本小題滿分13分) 根據長沙市建設大河西的規(guī)劃，市旅游局擬在咸嘉湖建立西湖生態(tài)文化公園. 如圖，設計方案中利用湖中半島上建一條長為的觀光帶AB，同時建一條連接觀光帶和湖岸的長為2的觀光游廊BC，且BC與湖岸MN（湖岸可看作是直線）的夾角為60°，BA與BC的夾角為150°，并在湖岸上的D處建一個觀光亭，設CD＝xkm(1＜x＜4).

（Ⅰ）用x分別表示tan∠BDC和tan∠ADM；

（Ⅱ）試確定觀光亭D的位置，使得在觀光亭D處觀賞

觀光帶AB的視覺效果最佳.

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 (本小題滿分13分)

已知橢圓的焦點為F1(－4，0)，F2(4，0)，過點F2且垂直于軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|BF1|＋|BF2|＝10，設點A，C為橢圓上不同兩點，使得|AF2|，|BF2|，|CF2|成等差數列.

(Ⅰ) 求橢圓的標準方程；

(Ⅱ) 求線段AC的中點的橫坐標；

（Ⅲ）求線段AC的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍.

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1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.B 7.B 8.C 9.A 10.B 

11.9  12.     13.x=1 或y=4x－2   14. R3   15. (1,－3)

16.解: (1)△ABD的面積S= absinC=?1?1?sinθ= sinθ

∵△BDC是正三角形, 則△BDC面積=BD2 : 而由△ABD及余弦定理可知:

BD2=12＋12＋2?1?1?cosθ= 2－2cosθ

于是四邊形ABCD面積S= sinθ ＋ (2－2cosθ)   

S= ＋ sin(θ－) 其中0<θ<π

(2)由 S= ＋ sin(θ－)  及0<θ<π  則－<θ－<

在θ－= 時, S取得最大值 1＋  此時θ= ＋ =

17.(1) 在斜三棱柱ABC－A1B1C1中, 因為A1在底面ABC上射影落在AC上, 則平面A1ACC1經過底面ABC的垂線 故側面A1C⊥面ABC.又 BD為等腰△ABC底邊AC上中線, 則BD⊥AC, 從而BD⊥面AC . ∴BD⊥面A1C 又AA1Ì 面A1C  ∴AA1⊥BD

(2)在底面ABC, △ABC是等腰三角形, D為底邊AC上中點, 故DB⊥AC, 又面ABC⊥面A1C

∴DB⊥面A1C  , 則DB⊥DA1,DB⊥DC1  , 則∠A1DC1是二面角A1－OB－C1的平面角

∵面A1DB面DC1B, 則∠A1DC1=Rt∠, 將平面A1ACC1放在平面坐標系中(如圖),  ∵側棱AA1和底面成60°, 設A1A=a , 則A1=( , a), C1( ＋ 2, a)  A(0,0) , C(2, 0), AC中點D(, 0), 由知: (－, a)?( ＋, a)=0 , ∴a2=3, a=

故所求側棱AA1長為

18.(1) ξ=2表示從B中取出兩個紅球.

① 從A中取一紅球放入B中, 再從B中取2紅球的概率P= ? =

② 從A中取一白球放入B中, 再從B中取2紅球的概率P=? =

∴P(ξ=2)= ＋ =

(2) 由(1)的方式可知: P(ξ=0)= ? ＋? =

P(ξ=1)= ?  ＋ ?  =  

ξ

0

1

2

P

∴ξ的概率分布列為: 

 

Eξ=1? ＋ 2? = =

19.  解: (1) 設雙曲線一、三象限漸近線l1: － =0 的傾 斜角為α ∵l和l2關于直線l1對稱, 記它們的交點為P. 而l2與x軸平行, 記l2與y軸交點為Q 依題意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α(銳角)又AB: y=  (x－2), 故tan2α=  則 = , 求得tanα= , tanα=－2(舍)  ∴ =   , e2= = 1＋()2 =    ,因此雙曲線C的離心率 .

 (2) ∵ = , 故設所求雙曲線方程 － =1 將 y= (x－2),代入 x2－4y2=4k2,

消去y得: x2－ x＋ ＋ k2=0  設A(x1,y1), B(x2,y2)

|AB| = |x1－x2| = ?= ?

= , 化簡得到: =   , 求得k2=1 .

故所求雙曲線C的方程為: －y2=1

20.解: (1)由 nSn＋1=(n＋2)Sn＋an＋2  (*)

變形為n(Sn＋1－Sn)=2Sn＋an＋2, 而Sn是{an}前n項和, 于是有nan＋1=2Sn＋an＋2, a1=0,

在n=1, a2=2a1＋a1＋2=2, 則a2=2 , 在n=2, 2a3=2(a1＋a2)＋a2＋2=4＋4=8, 則a3=4

(2)充分性: 由(1)可猜測到: an=2n－2. 下面先用數學歸納法證明: an=2n－2

① 在n=1時, a1=2×1－2=0 與已知 a1=0一致 故n=1時, an=2n－2成立.

②假設n≤k時, an=2n－2成立,

∴Sk=a1＋a2＋……＋ak=0＋2＋4＋…＋(2k－1)=k(k－1)

∵ (*)式 nan＋1=2Sn＋an＋2恒成立, 則kan＋1=2Sk＋ak＋2 = 2k(k－1)＋(2k－2)＋2=2k2

∴ ak＋1=2k=2[(k＋1)－1]

故n=k＋1時, an=2n－2成立, 綜合①②可知: an=2n－2成立對n∈N*恒成立.

∴數列{an}的通項為an=2n－1, ∴an－an－1=2(n≥2, n∈N＋)

由等差數列定義可知{an}是等差數列, 從而充分性得證.

必要性: 由(1)可知 nan＋1=2Sn＋an＋2恒成立, 則(n－1)an=2Sn－1＋an－1＋2(n≥2)(**)

若{an}是等差數列, 則an－an－1=d(n≥2),且an=a1＋(n－1)d. 代入(**) 式中有:

n(an＋1－an)=2an－an－1  ∴ nd=an＋d=a1＋(n－1)d＋d ∴a1=0 從而必要性得證.

因此a1=0 是數列{an}為等差數列的充分條件.

21. 解: (1)由 f(x)=x2＋2x＋alnx 求導數得f '(x)=2x＋2＋

f(x)在(0,1)上恒單調,只需f '(x) ≥ 0 或≤0在(0,1)上恒成立.

只需2x2＋2x＋a≥0 , 或2x2＋2x＋a≤0恒成立

即只需 a ≥ －(2x2＋2x) 或a≤－(2x2＋2x) 在(0,1)上恒成立.

又記g(x)=－2x(x＋1) , 0<x≤1 可知: －4 ≤g(x)<0 ∴所求a≥0 或a≤－4

(2) ∵ f(x) =x2＋2x＋alnx 由f(2t－1)≥2f(t)－3得到:

(2t－1)2＋2(2t－1)＋aln(2t－1)≥2(t2＋2t＋alnt)－3

化簡為: 2(t－1)2≥a?ln   ①  

∵t>1時, 有t2>2t－1, 則ln >0 . a≤  ②

構造函數m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), 求導m '(x) = －1=

則m(x)在x=0時取極大值, 同時也是最大值.故m(x)≤m(0).

從而ln(1＋x)≤x在x>－1上恒成立.

∴l(xiāng)n = ln(1＋ )≤  < (t－1)2  ③ 

在t>1時恒成立, 而t=1時③式取等號.  

∴l(xiāng)n ≤ (t－1)2      ④

在t≥1時恒成立. 因此由②④可知實數a取值范圍:  a≤2.

 


同步練習冊答案