2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）

數(shù)學(xué)（新課程理工農(nóng)醫(yī)類）

 

第Ⅰ卷（選擇題 共60分）

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

（1）

試題詳情

（A）                                       （B）

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（C）                                       （D）

試題詳情

（2）已知，，則tan 2x＝

試題詳情

（A）                                                （B）

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（C）                                                （D）

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（3）設(shè)函數(shù)

若f(x0)>1，則x0的取值范圍是

（A）（－1，1）                      （B）（－1，＋∞）

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（C）（－∞，－2）（0，＋∞）      （D）（－∞，－1）（1，＋∞）

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（4）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過△ABC的

（A）外心                                               （B）內(nèi)心

（C）重心                                               （D）垂心

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（5）函數(shù)，x∈(1，+∞)的反函數(shù)為

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（A），x∈(1，+∞)               （B），x∈(1，+∞)

試題詳情

（C），x∈(－∞，0)             （D），x∈(－∞，0)

（6）棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為

試題詳情

（A）                （B）                 （C）              （D）

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（7）設(shè)a>0，f(x)＝ax2+bx+c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為，則P到曲線y＝f(x)對稱軸距離的取值范圍為

試題詳情

（A）                                           （B）

試題詳情

（C）                                      （D）

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（8）已知方程(x2－2x+m)(x2－2x+n)的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則
|m－n|＝

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（A）1                    （B）                   （C）                （D）

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（9）已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于M、N兩點(diǎn),MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是

試題詳情

（A）                                （B）

試題詳情

（C）                                （D）

（10）已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射CD、DA到AB和上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）．設(shè)P4的坐標(biāo)為(x4，0)．若1< x4<2，則tgθ的取值范圍是

試題詳情

（A）                                             （B）   

試題詳情

（C）                                           （D）

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（11）

試題詳情

（A）3                    （B）                   （C）                （D）6

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（12）一個(gè)四面體的所有棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為

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（A）3p                  （B）4p                  （C）          （D）6π

 

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

 

試題詳情

二、選擇題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．

（13）展開式中x9的系數(shù)是                   ．

（14）某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取_______，_______，_________輛．

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（15）某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有_____種．（以數(shù)字作答）

（16）下列五個(gè)正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是             ．（寫出所有符合要求的圖表序號）

試題詳情

 

 

 

（17）（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)＝2sin x (sin x+cos x)．

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；

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三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

（Ⅱ）在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝f(x)的區(qū)間上的圖象

 

試題詳情

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

（18）（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱
AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

（Ⅰ）求A1B與平面ABD所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（Ⅱ）求點(diǎn)A1到平面AED的距離．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（19）（本小題滿分12分）

試題詳情

設(shè)a>0，求函數(shù)（x∈(0，+∞)）的單調(diào)區(qū)間．

 

 

 

 

 

 

 

 

（20）（本小題滿分12分）

A、B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官�，每�?duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是A1，A2，A3，B隊(duì)隊(duì)員是B1，B2，B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：

對陣對員

A隊(duì)隊(duì)員勝的概率

A隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率

A1對B1

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A2對B2

試題詳情

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A3對B3

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現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)A隊(duì)、B隊(duì)最后所得總分分別為x、h．

（Ⅰ）求x、h的概率分布；

（Ⅱ）求Ex、Eh．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（21）（本小題滿分12分）

已知常數(shù)a>0，向量c=(0，a)，i＝(1，0)．經(jīng)過原點(diǎn)O以c+li為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A（0，a）以i－2lc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中l∈R．試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得| PE | + | PF |為定值．若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

 

 

 

 

（22）（本小題滿分14分）

設(shè)a0為常數(shù)，且an＝3n－1－2an－1（n∈N）．

試題詳情

（Ⅰ）證明對任意n≥1，；

（Ⅱ）假設(shè)對任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范圍．

 

 

2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）

試題詳情

 

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分．

（1）B      （2）D     （3）D      （4）B      （5）B       （6）C

（7）B      （8）C     （9）D      （10）C     （11）B      （12）A

二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分．

（13）      （14）6，30，10    （15）120      （16）①④⑤

三、解答題：

（17）本小題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)和恒等變換的基本技能，考查畫圖的技能，滿分12分．

解（I）

 

     

         所以函數(shù)的最小正周期為π，最大值為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

*

1

1

1

故函數(shù)在區(qū)間上的圖象是

 

 

 

 

 

 

 

（18）本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想像能力和推理運(yùn)算能力，滿分12分．

解法一：（Ⅰ）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角．

設(shè)F為AB中點(diǎn)，連結(jié)EF、FC，

∵ D、E分別是CC1、A1B的中點(diǎn)，又DC⊥平面ABC，

∴ CDEF為矩形．

連結(jié)DF，G是△ADB的重心，

∴G∈DF．

在直角三角形EFD中，

，

∵ EF＝1，∴   ……4分

于是

∵  ∴

∴

∴ A1B與平面ABC所成的角是

（Ⅱ）連結(jié)A1D，有

∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F，

∴ ED⊥平面A1AB．

設(shè)A1到平面AED的距離為h．

則  

又    

∴ 

即A1到平面AED的距離為

解法二： （Ⅰ）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B與平面ABD所成的角．

如圖所示建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，設(shè)CA＝2a，則 A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，．

∴ ，．

∴ ，解得 a＝1．

∴ ，．

∴ ．

A1B與平面ABD所成角是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．

，

，

∴ ED⊥平面AA1E，又EDÌ平面AED，

∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，

∴ 點(diǎn)A1在平面AED的射影K在AE上．

設(shè) ，

則 ．

由 ，即l+l+l－2＝0，

解得 ．

∴ ．

∴ ．

故A1到平面AED的距離為．

（19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力．滿分12分．

解：．

當(dāng)a>0，x>0時(shí)

f ¢(x)>0Ûx2+(2a－4)x+a2>0，

f ¢(x)<0Ûx2+(2a－4)x+a2<0．

（?）當(dāng)a > 1時(shí)，對所有x > 0，有

x2+(2a－4)x+a2>0，

即f ¢(x)>0，此時(shí)f(x)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

（?）當(dāng)a＝1時(shí)，對x≠1，有

x2+(2a－4)x+a2>0，

即f ¢(x)>0，此時(shí)f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

又知函數(shù)f(x)在x＝1處連續(xù)，因此，函數(shù)f(x)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

（?）當(dāng)0<a<1時(shí)，令f ¢(x)>0，即

x2+(2a－4)x+a2>0，

解得，或．

因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增．

令f ¢(x)<0，即x2+(2a－4)x+a2 < 0，

解得

．

因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．

 

（20）本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力，滿分12分．

解：（Ⅰ）x，h的可能取值分別為3，2，1，0．

，

，

，

；

根據(jù)題意知x+h=3，所以

，

，

，

．

（Ⅱ）；

因?yàn)?x +h＝3，

所以 ．

 

（21）本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分12分．

解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值．

∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，

∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．

因此，直線OP和AP的方程為

ly=ax 和 y－a＝－2lax．

消去參數(shù)l，得點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足方程y(y－a)=­－2a2x2，

整理得  ．      ①

因?yàn)?i>a>0，所以得：

（?）當(dāng)時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；

（?）當(dāng)時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)：

（?）當(dāng)時(shí)，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)．

 

（22）本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，滿分14分．

（Ⅰ）證法一：（?）當(dāng)n＝1時(shí)，由已知a1=1－2a0，等式成立；

（?）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1）等式成立，即

，

那么

，

也就是說，當(dāng)n＝k+1時(shí)，等式也成立．

根據(jù)（?）和（?），可知等式對任何n∈N+成立．

證法二：如果設(shè)an－a3n=－2(an－1－a3n－1)，

用代入，可解出．

所以是公比為－2，首項(xiàng)為的等比數(shù)列．

∴ （n∈N+），

即 ．

（Ⅱ）解法一：由an通項(xiàng)公式

，

∴ an>an－1（n∈N+）等價(jià)于

（n∈N+）．      ①

（?）當(dāng)n＝2k－1，k＝1，2，…時(shí)，①式即為

，

即為 ．               ②

②式對k＝1，2，…都成立，有

．

（?）當(dāng)n＝2k，k＝1，2，…時(shí)，①式即為

，

即為 ．

③式對k＝1，2，…都成立，有

．      ②

綜上，①式對任意n∈N+成立，有．

故a0的取值范圍為（0，）．

解法二：如果an>an－1（n∈N+）成立，特別取n＝1，2有

a1－a0=1－3a0>0，

a2－a1=6a0>0，

因此  ．

下面證明當(dāng)時(shí)，對任意n∈N+，有an－an－1>0．

由an通項(xiàng)公式

．

（?）當(dāng)n＝2k－1，k＝1，2，…時(shí)，

＝0．

（?）當(dāng)n＝2k，k＝1，2，…時(shí)，

≥0．

故a0的取值范圍為（0，）．


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