(3)設(shè)函數(shù)若f(x0)>1.則x0的取值范圍是 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)函數(shù)y=f(x)=
2x
2x+
2
上兩點p1（x1，y1），p2（x2，y2），若
op
=
1
2
(
op1
+
op2
)，且P點的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（1）求P點的縱坐標(biāo)；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)，求Sn；
（3）記Tn為數(shù)列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n項和，若Tn＜a(Sn+2+
2
)對一切n∈N*都成立，試求a的取值范圍．

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已知函數(shù)f(x)=
mxx2+n
(m，n∈R)在x=1處取得極大值2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；      
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2ax+a，若對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1），求實數(shù)a的取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）滿足f(x)=x3+f ′(
2
3
)x2-x+C（其中f ′(
2
3
)為f（x）在點x=
2
3
處的導(dǎo)數(shù)，C為常數(shù)）．
（1）求f ′(
2
3
)的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）-x3]•ex，若函數(shù)g（x）在x∈[-3，2]上單調(diào)，求實數(shù)C的取值范圍．

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設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）2．
（1）求f（x）的極小值；
（2）討論函數(shù)F（x）=f（x）+2x2-x-2axlnx零點的個數(shù)，并說明理由？
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=ex-2x2+4x+t（t為常數(shù)），若使3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立的實數(shù)m有且只有一個，求實數(shù)t的值．（e7＞103）

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在平行四邊形OABC中，已知過點C的直線與線段OA，OB分別相交于點M，N．若
OM
=x
OA
，
ON
=y
OB
．
（1）求證：x與y的關(guān)系為y=
x
x+1
；
（2）設(shè)f(x)=
x
x+1
，定義函數(shù)F(x)=
1
f(x)
-1(0＜x≤1)，點列Pi（xi，F(xiàn)（xi））（i=1，2，…，n，n≥2）在函數(shù)F（x）的圖象上，且數(shù)列{xn}是以首項為1，公比為
1
2
的等比數(shù)列，O為原點，令
OP
=
OP1
+
OP2
+…+
OPn
，是否存在點Q（1，m），使得
OP
⊥
OQ
？若存在，請求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)函數(shù)G（x）為R上偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時G（x）=f（x），又函數(shù)G（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)方程G(x)=ax+
1
2
在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有兩個不同的實數(shù)解時，求實數(shù)a的取值范圍．

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一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分．

（1）B      （2）D     （3）D      （4）B      （5）B       （6）C

（7）B      （8）C     （9）D      （10）C     （11）B      （12）A

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分．

（13）      （14）6，30，10    （15）120      （16）①④⑤

三、解答題：

（17）本小題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)和恒等變換的基本技能，考查畫圖的技能，滿分12分．

解（I）

 

     

         所以函數(shù)的最小正周期為π，最大值為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

*

1

1

1

故函數(shù)在區(qū)間上的圖象是

 

 

 

 

 

 

 

（18）本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想像能力和推理運算能力，滿分12分．

解法一：（Ⅰ）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角．

設(shè)F為AB中點，連結(jié)EF、FC，

∵ D、E分別是CC1、A1B的中點，又DC⊥平面ABC，

∴ CDEF為矩形．

連結(jié)DF，G是△ADB的重心，

∴G∈DF．

在直角三角形EFD中，

，

∵ EF＝1，∴   ……4分

于是

∵  ∴

∴

∴ A1B與平面ABC所成的角是

（Ⅱ）連結(jié)A1D，有

∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EFAB＝F，

∴ ED⊥平面A1AB．

設(shè)A1到平面AED的距離為h．

則  

又    

∴ 

即A1到平面AED的距離為

解法二： （Ⅰ）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B與平面ABD所成的角．

如圖所示建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為O，設(shè)CA＝2a，則 A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，．

∴ ，．

∴ ，解得 a＝1．

∴ ，．

∴ ．

A1B與平面ABD所成角是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．

，

，

∴ ED⊥平面AA1E，又EDÌ平面AED，

∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，

∴ 點A1在平面AED的射影K在AE上．

設(shè) ，

則 ．

由 ，即l+l+l－2＝0，

解得 ．

∴ ．

∴ ．

故A1到平面AED的距離為．

（19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力．滿分12分．

解：．

當(dāng)a>0，x>0時

f ¢(x)>0Ûx2+(2a－4)x+a2>0，

f ¢(x)<0Ûx2+(2a－4)x+a2<0．

（?）當(dāng)a > 1時，對所有x > 0，有

x2+(2a－4)x+a2>0，

即f ¢(x)>0，此時f(x)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

（?）當(dāng)a＝1時，對x≠1，有

x2+(2a－4)x+a2>0，

即f ¢(x)>0，此時f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

又知函數(shù)f(x)在x＝1處連續(xù)，因此，函數(shù)f(x)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

（?）當(dāng)0<a<1時，令f ¢(x)>0，即

x2+(2a－4)x+a2>0，

解得，或．

因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增．

令f ¢(x)<0，即x2+(2a－4)x+a2 < 0，

解得

．

因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．

 

（20）本小題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分．

解：（Ⅰ）x，h的可能取值分別為3，2，1，0．

，

，

，

；

根據(jù)題意知x+h=3，所以

，

，

，

．

（Ⅱ）；

因為 x +h＝3，

所以 ．

 

（21）本小題主要考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分12分．

解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值．

∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，

∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．

因此，直線OP和AP的方程為

ly=ax 和 y－a＝－2lax．

消去參數(shù)l，得點P(x，y)的坐標(biāo)滿足方程y(y－a)=­－2a2x2，

整理得  ．      ①

因為a>0，所以得：

（?）當(dāng)時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；

（?）當(dāng)時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點：

（?）當(dāng)時，方程①也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點．

 

（22）本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，滿分14分．

（Ⅰ）證法一：（?）當(dāng)n＝1時，由已知a1=1－2a0，等式成立；

（?）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1）等式成立，即

，

那么

，

也就是說，當(dāng)n＝k+1時，等式也成立．

根據(jù)（?）和（?），可知等式對任何n∈N+成立．

證法二：如果設(shè)an－a3n=－2(an－1－a3n－1)，

用代入，可解出．

所以是公比為－2，首項為的等比數(shù)列．

∴ （n∈N+），

即 ．

（Ⅱ）解法一：由an通項公式

，

∴ an>an－1（n∈N+）等價于

（n∈N+）．      ①

（?）當(dāng)n＝2k－1，k＝1，2，…時，①式即為

，

即為 ．               ②

②式對k＝1，2，…都成立，有

．

（?）當(dāng)n＝2k，k＝1，2，…時，①式即為

，

即為 ．

③式對k＝1，2，…都成立，有

．      ②

綜上，①式對任意n∈N+成立，有．

故a0的取值范圍為（0，）．

解法二：如果an>an－1（n∈N+）成立，特別取n＝1，2有

a1－a0=1－3a0>0，

a2－a1=6a0>0，

因此  ．

下面證明當(dāng)時，對任意n∈N+，有an－an－1>0．

由an通項公式

．

（?）當(dāng)n＝2k－1，k＝1，2，…時，

＝0．

（?）當(dāng)n＝2k，k＝1，2，…時，

≥0．

故a0的取值范圍為（0，）．


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