2004年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（文史類）（老課程）

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至10頁(yè)。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

 

第I卷

參考公式：

正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式

其中c′、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，l表示

斜高或母線長(zhǎng)

臺(tái)體的體積公式

其中R表示球的半徑

      

  

 

      

 

一、選擇題

（1）設(shè)集合，，    則集合中元素的個(gè)數(shù)為

（A）1               （B）2               （C）3            （D）4

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（2）函數(shù)的最小正周期是

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（A）              （B）             （C）                 （D）

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（3）記函數(shù)的反函數(shù)為，則

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    （A） 2            （B）             （C） 3                （D） 

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（4）等比數(shù)列中， ，則的前4項(xiàng)和為

（A）  81             （B）  120      （C）168              （D）  192

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（5）圓在點(diǎn)處的切線方程是

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（A）                      （B）

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（C）                       （D）

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（6）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

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（A）   15           （B）           （C） 20             （D）

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（7） 設(shè)復(fù)數(shù)的幅角的主值為，虛部為，則

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（A）                          （B）

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（C）                            （D）

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（8） 設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線為，則雙曲線的離心率

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（A） 5             （B）            （C）                 （D）

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（9）不等式的解集為

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（A）                                       （B） 

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（C）                                      （D）

（10）正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為

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（A）       （B）            （C）            （D）

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（11）在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，則邊AC上的高為                                （A）        （B）    （C）                        （D）

（12）4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案共有

（A） 12  種      （B） 24 種       （C）36  種            （D） 48 種  

 

第Ⅱ卷

 

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分. 把答案填在題中橫線上.

（13）函數(shù)的定義域是                           .

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（14）用平面α截半徑為R的球，如果球心到平面α的距離為，那么截得小圓的面積與球的表面積的比值為                       .

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（15）函數(shù)的最大值為                     .

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（16） 設(shè)P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為

                       .

（17）（本小題滿分12分）

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三、解答題：本大題共6小題，共74分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

解方程

 

 

 

 

（18）（本小題滿分12分）

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已知α為銳角，且的值.

 

 

 

（19）（本上題滿分12分）

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設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且

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，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

 

 

 

 

 

 

 

 

（20）（本小題滿分12分）

某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？

（21）（本小題滿分12分）

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三棱錐P―ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

(1) 求證AB⊥BC；

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(2) 如果AB=BC=，求側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成二面角的大小.

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（22）（本小題滿分14分）

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設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是與，且橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線PF2與直線PF2垂直.

   （1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

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   （2）設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn)F2的準(zhǔn)線，直線PF2與L相交于點(diǎn)Q. 若，求直線PF2的方程.

 

 

 

2004年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

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一 選擇題

（1）B     （2）C     （3）B     （4）B     （5）D    （6）A

（7）A     （8）C     （9）D     （10）C    （11）B   （12）C

二 填空題

（13）     （14）     （15）   （16）1

三、解答題

（17）本小題主要考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)以及解方程的有關(guān)知識(shí). 滿分12分.

解：

   

    （無(wú)解）. 所以

（18）本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)以及三角恒等變形的能力. 滿分12分.

解：原式

因?yàn)?nbsp;

所以   原式.

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所以  原式

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所以   原式

（19）本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，根據(jù)已知條件列方程以及運(yùn)算能力.滿分12分.

解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由及已知條件得

， ①

     ②

由②得，代入①有

解得    當(dāng)舍去.

因此 

故數(shù)列的通項(xiàng)公式

（20）本小題主要考查把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力. 滿分12分.

解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為a m，后側(cè)邊長(zhǎng)為b m，則

        蔬菜的種植面積

       

         

        所以

        當(dāng)

        答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40m，后側(cè)邊長(zhǎng)為20m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.

（21）本小題主要考查兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)、二面角等有關(guān)知識(shí)，以有邏輯思維能力和空間想象能力. 滿分12分.

E

     因?yàn)镻A=PC，所以PD⊥AC，

 又已知面PAC⊥面ABC，

    
   
    
    
    
    
    
    D
     因?yàn)镻A=PB=PC，
     所以DA=DB=DC，可知AC為△ABC外接圓直徑，
     因此AB⊥BC.
    （2）解：因?yàn)锳B=BC，D為AC中點(diǎn)，所以BD⊥AC.
         
又面PAC⊥面ABC，
         
所以BD⊥平面PAC，D為垂足.
         
作BE⊥PC于E，連結(jié)DE，
         
因?yàn)镈E為BE在平面PAC內(nèi)的射影，
         
所以DE⊥PC，∠BED為所求二面角的平面角.
         
在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.
         
在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，
         
所以
         
因此，在Rt△BDE中，，
         
，
         
所以側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成的二面角為60°.
    （22）本小題主要考查直線和橢圓的基本知識(shí)，以及綜合分析和解題能力. 滿分14分.
    解：（1）由題設(shè)有
    設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），由，得，
    化簡(jiǎn)得       ①
    將①與聯(lián)立，解得  
    由
    所以m的取值范圍是.
    （2）準(zhǔn)線L的方程為設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則
       ②
    將代入②，化簡(jiǎn)得
    由題設(shè)，得 ，無(wú)解.
    將代入②，化簡(jiǎn)得
    由題設(shè)，得 
    解得m=2.
    從而得到PF2的方程
    
				
	
    
		
    


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