Question

3．如圖所示，A、B兩小球由繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過(guò)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上．現(xiàn)用手控制住A，并使細(xì)線剛剛拉直但無(wú)拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細(xì)線豎直、右側(cè)細(xì)線與斜面平行．已知A的質(zhì)量為4m，B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計(jì)．開(kāi)始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時(shí)，C恰好離開(kāi)地面．求
（1）斜面的傾角α；
（2）A獲得的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）C剛離開(kāi)地面時(shí)，彈簧的彈力等于C的重力，根據(jù)牛頓第二定律知B的加速度為零，B、C加速度相同，分別對(duì)B、A受力分析，列出平衡方程，求出斜面的傾角．
（2）A、B、C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，初始位置彈簧處于壓縮狀態(tài)，當(dāng)B具有最大速度時(shí)，彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，根據(jù)受力知，壓縮量與伸長(zhǎng)量相等．在整個(gè)過(guò)程中彈性勢(shì)能變化為零，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒求出B的最大速度，A的最大速度與B相等；

解答 解：（1）由題意可知，C剛離開(kāi)地面時(shí)，對(duì)C有：kx₂=mg         
此時(shí)B有最大速度，即a_B=a_C=0
則對(duì)B有：T-kx₂-mg=0
對(duì)A有：4mgsinα-T=0               
以上方程聯(lián)立可解得：sinα=0.5，
α=30° 
（2）由題意可知，A、B兩小球及輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)在初始時(shí)和A沿斜面下滑至速度最大時(shí)的機(jī)械能守恒，同時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能相等，故有：2mg=k△x$4mg△xsinα-mg△x=\frac{1}{2}（5m）v_m^2$
得：${v_m}=2g\sqrt{\frac{m}{5k}}$
答：（1）斜面的傾角是30°；（2）A獲得的最大速度是$2g\sqrt{\frac{m}{5k}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是對(duì)三個(gè)物體分別受力分析，得出物體B速度最大時(shí)各個(gè)物體都受力平衡，然后根據(jù)平衡條件分析；同時(shí)要注意是那個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒